Проверка исходных данных на нормальность распределения

Корреляционный анализ включает совокупность методов, которые можно разделить на две большие группы. Первая груша – параметрические или собственно корреляционные методы намерения тесноты связи, которые основаны на вычислении различных коэффициентов корреляций. Их применение требует соблюдения двух условий (об одном мы уже говорили):

1) отдельные наблюдения должны быть независимы и

2) эти наблюдения должны быть распределены по нормальному или близкому к нему закону распределения.

Вторая группа методов – непараметрические, применение которых не требует соблюдения каких-либо условий и оправдывается в тех частных случаях, когда использование параметрических методов является либо недостаточным (например, при оценке тесноты связи между качественными признаками, обобщении экспертных оценок и т.п.), либо невозможным в силу отсутствия указанных выше условий использования собственно корреляционных методов [18, с. 101 - 107] .

Поэтому необходимым и, по сути дела, заключительным этапом предварительной обработки исходных данных является проверка их на нормальность распределения.

Простейшим каноническим уравнением кривой нормального распределения Лапласа – Гаусса, график которой представлен на рисунке 5, является следующее:

или  ,                        (15)

где  – ордината кривой нормального распределения;

 – значение признака в пределах каждого интервала его ряда распределения;

 – средняя арифметическая признака;

 – среднее квадратическое отклонение признака;

 – нормированное отклонение, ;

 – основание натурального логарифма.

+

+

+

+

+

+

+

+

Рисунок 5 – Кривая нормального распределения

Кривая симметрична относительно некоторой оси – наибольшей ее ординаты, восстановленной из той точки на оси абсцисс, которая соответствует средней арифметической. Ветви ее асимптотически приближаются к оси абсцисс. Кривая имеет точки перегиба при , т.е. при таких отклонениях значений признака от средней арифметической, которые равны среднеквадратическому отклонению.

Центр группировки частот и форма нормальной кривой определяются  и . Чем больше , тем правее по оси абсцисс находится центр нормального распределения. При малых  кривая нормального распределения вытянута вверх и сжата с боков. Для того чтобы определить, насколько близка анализируемая кривая к нормальному распределению, необходимо прежде всего найти асимметрию.

На симметричном графике  = Мо = Ме. При правосторонней асимметрии Мо < . При левосторонней асимметрии Мо > .

В ряду распределения процентов выполнения норм выработки станочников механического цеха – функции рассматриваемой экономико-математической модели – = 173,72 %; Мо₁ = 169 %; Ме₁ = 169 %. Имеет место правосторонняя асимметрия. Оценив ее умеренность, т.е. проверим исходные данные этого ряда распределения на нормальность.

Существует ряд критериев согласия, по которым можно оценить близость распределения в выборках по каждому из факторов исследуемой модели к нормальному распределению. Одним из них является критерий согласия Пирсона или критерий  (хи-квадрат):

,                                    (16)

где  – эмпирическая (фактическая) частота анализируемого ряда распределения в к-й группе;

– его теоретическая частота в к-й группе.

Распределение анализируемой выборки является нормальным, если удовлетворяет критерию Романовского:

                                               (17)

где  – число степеней свободы анализируемого ряда распределения, ;

К - количество интервалов в анализируемом ряду распределения.

Теоретические частоты рада (ординаты кривой нормального распределения) определяются по трансформированной формуле (15):

или

                                 (18)

Величина приведена в приложении 6. Она определяется в зависимости от величины t.

Расчет  для ряда распределения процентов выполнения норм выработки станочников механического цеха (  = 173,72;  = 23,83;  = 14; =50) приведен в таблице 5.

Таблица 5 – Расчет

Интервалы по	Частота интервала	Середина интерва­ла
138-152	10	145	-1,21	0,1919	5,64 ≈ 6
152-166	8	159	-0,62	0,3292	9,67 ≈ 10
166-180	19	173	-0,03	0,3989	11,7 ≈ 12
180-194	4	187	0,56	0,3410	10,02 ≈ 10
194-208	3	201	1,15	0,2050	6,03 ≈ 7
208-222	3	215	1,73	0,0893	2,62 ≈ 3
222-236	2	229	2,32	0,0277	0,81 ≈ 1
236-250	1	243	2,91	0,0058	0,17 ≈ I

Следует заметить, что сумма теоретических частот должна с принятой точностью совпадать с суммой фактических частот. В данном примере = =50. В расчете использована величина

.

Определим :

Левая часть критерия Романовского: .

Поскольку данное отношение меньше 3, распределение процентов выполнения норм выработки станочников механического цеха можно считать нормальным и применять к нему параметрические методы корреляционного анализа.

Выборки данных во множественной корреляции являются многомерными. Поэтому проверяется гипотеза о нормальности частных распределений каждого фактора. Если исходные распределения факторов не подчиняются закону нормального распределения, необходимо попытаться их нормализовать. Одним из способов нормализации является замена исходных величин их логарифмами.