Построение наблюдателей при неполном измерении

При синтезе модального регулятора предполагалось, что переменные состояния, по которым необходимо организовывать обратные связи, могут быть непосредственно измерены. Т.е. весь вектор состояния x измеряем. Однако в ряде случаев может оказаться целесообразным использовать обратную связь по переменной, непосредственное измерение которой затруднено или невозможно. Тогда возникает задача их искусственного воспроизведения с помощью специальных устройств, называемых «наблюдателями». Для построения такого устройства необходимо, чтобы объект был наблюдаемым, т.е. существовала принципиальная возможность восстановить вектор неизмеряемых координат по вектору измеряемых координат. Существуют математические формулировки такой возможности. Физически они сводятся к тому, чтобы между измеряемой и неизмеряемой переменными существовала взаимосвязь. Наблюдатель строится на основе известной структуры и параметров линейного объекта. Пусть объект (или система) n -го порядка, имеющий k входов и m измеряемых переменных состояния, описывается уравнением состояния

ẋ = Ax+ Bu

y = Cx(14.1)

Можно создать аналоговую или цифровую модель объекта, которая должна удовлетворять уравнению

ẋ̂= Ax̂+ Bu

ŷ = Cx̂                  (14.2)

В уравнении (14.2) в отличие от (14.1) фигурирует не реальный, а восстановленный вектор состояний x̂ (т.е. оценка), ŷ - восстановленный вектор выходных величин. Вектор x̂ по постановке задачи, должен быть равен х и может быть измерен, т.к. это величины модели. Вектор входных воздействий “u” должен одновременно прикладываться и к реальному объекту и к модели.

Однако из-за неточного математического описания объекта и возмущений, действующих только на объект, равенство x=x̂ нарушается, и выходные переменные модели не будут соответствовать переменным объекта. Для уменьшения этого расхождения на вход модели вводят сигналы ошибок воспроизведения переменных объекта, образующих вектор y, которые доступны измерению (т.е. используется принцип обратной связи). Структурная матричная схема системы тогда будет иметь вид:

Вектор ошибки восстановления измеряемых переменных размерности m вводится на входы наблюдателя через матрицу коэффициентов L наблюдателя:

(4.3)

Собственная динамика наблюдателя как замкнутой системы зависит от матрицы L. На основании схемы можно записать:

ẋ̂= (A - LC)x̂+ Bu + Ly                                      (14.4)

Или перейдя к изображениям

[pI - (A - LC)] X̂ = BU + LY                      (14.5)

где I - единичная матрица.

Выбор элементов матрицы L означает определение вида характеристического уравнения наблюдателя, т.е.       

det[pI -(A - LC) = 0]                                 (14.6)

Выражение (14.6) приравнивают к выражению желаемого полинома, например, в форме Баттерворта, т.е.

Из (14.7), приравнивая коэффициенты при р в одинаковой степени, можно определить требуемые коэффициенты связей наблюдателя, т.е. элементы матрицы L. Частотуω₀ , определяющую быстродействие наблюдателя, необходимо выбрать так, чтобы быстродействие наблюдателя в 2-3 раза превышало быстродействие системы. Решая совместно уравнения (14.1) и (14.4) можно получить путем вычета уравнения (14.1) из (14.4): ẋ̂- ẋ = (A - LC)xˆ + Bu + Ly - Ax – Buт.к.Ly= LCx, тогда ẋ̂ - ẋ = (A - LC) ( x̂ - x)

Известно, что если собственные числа матрицы [A - LC], т.е. корни характеристического уравнения системы ”объект -наблюдатель” лежат в левой полуплоскости, то система устойчива и при t→0 ошибка оценивания e= x̂ - x → 0 ,значит вектор x̂→ x .Скорость сходимости оценок зависит отполюсов ”объекта и наблюдателя”.