Синтез алгоритма управления

На первом этапе выбирается такая структура векторной функции , которая согласуется с целью управления и обеспечивает генерирование возмущения  при наличии ошибок. Если сформулирована цель управления для исходного объекта (1) в виде многообразия (3), то функция  выбирается в виде:

.             (4)

На втором этапе производится синтез управления, обеспечивающего асимптотическую устойчивость расширенной модели (2) относительно цели управления, которая преобразуется к форме

. (5)

где  – дифференцируемая векторная функция, выбираемая в процессе синтеза. В частном случае, элементы векторной функции могут быть выбраны в виде линейной комбинации вектора :

. (6)

где  – матрица постоянных коэффициентов.

На третьем этапе, исходя из того, что цель управления (5) достигнута, проводится анализ уравнения

.                (7)

Выбрав вектор  таким образом, чтобы обеспечить асимптотическую устойчивость системы, завершаем процедуру синтеза.

Если цель управления выбрана в виде (6), то уравнение (7) будет иметь вид

.                 (8)

В этом случае свойства системы (8) определяются собственными числами матрицы .

Изложенная методика не раскрывает второй этап, на котором осуществляется синтез управления. В этой связи изложим новый метод, позволяющий синтезировать управление, обеспечивающее попадание на многообразие (6). Предлагаемый метод синтеза основывается на принципе максимума Понтрягина [10] и заключается в применении нового способа построения функции Понтрягина, предложенного в [11 – 14].

Рассмотрим расширенную модель (2) объект и векторное многообразие (3) в случае, когда целю управления является попадание в начало координат. В этом случае выражения (3) – (6) преобразуются к виду:

.                      (9)

.                (10)

. (11)

. (12)

В соответствии с целью управления требуется обеспечить попадание на многообразие (12), поэтому сформируем функцию Понтрягина в виде [11 – 14]:

.                         (13)

Предположим для определенности, что система (1) является аффинной по вектору управляющих воздействий , т.е. функция  представляется в следующем виде:

.                     (14)

где –функциональный вектор;  – функциональная матрица.

В этом случае вектор управляющих воздействий, доставляющий максимум функции Понтрягина (13), определяется выражением

.                        (15)

где  – вектор постоянных ограничений на управление;  – поэлементное умножение векторов.

В области, определяемой неравенством

,                (16)

где  – i-я строка матрицы ;  – элементы вектора ;  – элементы вектора ;  – строки матрицы ;  – скалярные произведения векторов, функция Понтрягина (13) положительно определена.

Управление (15) обеспечивает оптимальное по быстродействию попадание на целевое векторное многообразие (12) объекта (2). При аппроксимации знаковой функции  в (15) некоторой непрерывной функцией получим субоптимальный закон управления, для которого можно ввести в рассмотрение следующую функцию Ляпунова:

.      (17)

Продифференцировав функцию (17) по времени с учетом уравнений замкнутой системы (2), (15), получим:

.       (18)

Таким образом, предложенная процедура адаптации обеспечивает максимально возможную область асимптотической устойчивости замкнутых систем и оптимизацию системы управления по быстродействию.

Наблюдаемость. Построение наблюдателей при неполном измерении

Наблюдаемость САУ

Система

ẋ(t) = Ax(t)+ Bu(t)_,

y(t) = Cx(t)

называется наблюдаемой, если для всех t₀ можно единственным образом определить x(t₀) по данным измерения u(t) и y(t) на конечном интервале t₀< t < t₁ .

Для линейной стационарной системы необходимым и достаточным условием полной наблюдаемости является условие rank Q = n , где Q =[C^T , A^TC^T ,(A^T ) ²C^T ,..,(A^T )^n-1C^T] матрица наблюдаемости.