Способ построения матричной системы сравнения для линейных САУ с учетом неопределенностей

Исходная система dx/dt=f(t,x,w), x(t₀)=x₀ÎE(a₀,Q₀)

1. Берется матричная функция V(x)=xx^TV_ij=x_ix_j

или

V(x)=(x–a(t))(x–a(t))^T.

2. Вычисляется производная dV/dtв силу исходной системы.

3. Задается уравнение для a(t): da/dt=f*(t,a)

4. Подставляется выражение da(t)/dtв dV/dt

5. Производится мажорированиеdV/dtс использованием матричных неравенств. В результате приходим к матричному дифференциальному неравенству вида dV/dt£F(t,V) относительно конуса G₊

6. По матричному дифференциальному неравенству выписывается матричная система dQ/dt=F(t,Q). Если она удовлетворяет условию монотонности решений по начальным данным, то она будет являться матричной системой сравнения для исходной системы. Достаточным условием монотонности решений по начальным данным является условие квазимонотонности функции F(t,Q) правой части полученной матричной системы.

Оценкирешений

[x(t,t₀,x₀)–a(t,t₀,a₀)][x(t,t₀,x₀)–a(t,t₀,a₀)]^T£Q(t,t₀,Q₀),

илиx(t,t₀,x₀)ÎE[a(t,t₀,a₀),Q(t,t₀,Q₀)] еслиQ(t,t₀,Q₀)>0.

Способ построения матричных систем сравнения для некоторых классов нелинейных САУ с учетом неопределенностей

Исходная система dx/dt=f(t,x,w), x(t₀)=x₀ÎE(a₀,Q₀)

1. Берется матричная функция V(x)=xx^TV_ij=x_ix_j

или

V(x)=(x–a(t))(x–a(t))^T.

2. Вычисляется производная dV/dtв силу исходной системы.

3. Задается уравнение для a(t): da/dt=f*(t,a)

4. Подставляется выражение da(t)/dtв dV/dt

5. Производится мажорированиеdV/dtс использованием матричных неравенств. В результате приходим к матричному дифференциальному неравенству вида dV/dt£F(t,V) относительно конуса G₊

6. По матричному дифференциальному неравенству выписывается матричная система dQ/dt=F(t,Q). Если она удовлетворяет условию монотонности решений по начальным данным, то она будет являться матричной системой сравнения для исходной системы. Достаточным условием монотонности решений по начальным данным является условие квазимонотонности функции F(t,Q) правой части полученной матричной системы.

Оценкирешений

[x(t,t₀,x₀)–a(t,t₀,a₀)][x(t,t₀,x₀)–a(t,t₀,a₀)]^T£Q(t,t₀,Q₀),

илиx(t,t₀,x₀)ÎE[a(t,t₀,a₀),Q(t,t₀,Q₀)] еслиQ(t,t₀,Q₀)>0.

Анализа устойчивости на конечном интервале САУ с неопределенностями с помощью матричной системы сравнения