Синтез модальных регуляторов

Существует несколько подходов для решения этой задачи.

1. Составляют функционал от функции состояния и управления, накладывают физические ограничения на эти функции и на основе вариационного исчисления определяют оптимальное управление, минимизирующее исходный функционал. Этот раздел ТАУ – называется оптимальное управление и разработан Понтрягиным Л.С.

2. Существует подход, называемый аналитическое конструирование регуляторов. В этом случае при заданной структуре объекта и регулятора на основе заданного функционала, отражающего требование к системе, определяются параметры регулятора, обеспечивающие минимум функционала. Задача может быть решена на ЭВМ с помощью методов поисковой оптимизации: градиентного, симплексного и т.д.

3. Наряду с этими общими подходами разработаны методы синтеза замкнутых систем непосредственно по заданным динамическим свойствам управляемого объекта (т.е. не по функционалу, что      упрощает задачу).Одним из таких методов является алгебраический метод

определения структуры и параметров модальных регуляторов.

Это направление современной теории получило широкое распространение в инженерной практике, т.к. эти регуляторы реализуемы и могут быть синтезированы на ЦВМ и аналитически.

Модальное управление – это методы формирования цепей обратных связей, придающих замкнутой системе заранее выбранное расположение корней характеристического уравнения.

Обычно задаются желаемым характеристическим полиномом замкнутой системы (т.е. знаменателем передаточной функции замкнутой системы). Существует несколько типовых форм полиномов, из них наиболее употребительны следующие.

Форма Баттерворта                      Биномиальная форма

Эти полиномы минимизируют интегральные критерии различного вида, здесь ω₀ - постоянная, выбираемая исходя из желаемого быстродействия. Для фильтра Баттерворта нормированный переходный процесс По оси абсцисс откладывается относительное время переходного процесса. Если n = 3, то при ω₀×t_n= 9.5 переходный процесс закончен (при величине зоны – 1%).

Пусть задано t_n=0.2 c , тогда

Структура модального регулятора задается всегда одинаковой и представляет собой обратную связь по всем переменным состояния. Регулятор линейно преобразует поступившие сигналы, т.е. усиливает и суммирует эти сигналы х_i и выдает в качестве выхода их линейную комбинацию.

Пусть исходная линейная система описывается уравнением состояния: ̇

Для получения желаемого быстродействия и характеристического уравнения системы введем линейную обратную связь по переменным состояния в соответствии с уравнением u=v - Kx,                 (12.2) где v - новое обозначение вектора входных воздействий; u -вектор управляющих воздействий с выхода регулятора; К-матрица обратной связи.

Если u и v скаляры, тоК является матрицей-строкой, элементы которой – есть коэффициенты обратных связей по всем составляющим вектора х.

Исходная система и линейная обратная связь по переменным состояния образуют замкнутую систему:

Подставляя (12.2) в (12.1), получим ее уравнение:

Динамические свойства полученной системы согласно (12.3) определяются матрицей системы

Необходимо найти такую матрицу коэффициентов обратной связи К, чтобы замкнутая система имела желаемый характеристический полином Dж(р), для этого определитель матрицы pI-Ã должен быть равен Dж(р):

det(pI - A )= Dж(p),  (12.4)

где I– единичная матрица.

Из (12.4), приравнивая коэффициенты при р в одинаковых степенях, можно найти элементы матрицы А.