Построение эллипсоидальных оценок состояния САУ с помощью матричных систем сравнения в ППП Матлаб.

Реализация описанного алгоритма в матлаб, приведена ниже

%-----модель математического маятника -------

% Примеры синтеза оценивания состояния и моделирования

%--Исходные данные --Линеаризованная модель с неопределенными возмущениями

% вектор состояния x=(x1,x2)T

n=2;

m=1;

l=1;

n1=n;

w=0.5;

mu1=1;

A = [0 1; -w*w 0];

B1 = [0; 1];

D=[0; 1];

C=[1 0;0 1;0 0];

B2=[0; 0;1];

eig(A)

p=[-1. -3];

K0=-place(A,B1,p);

ABK0=A+B1*K0;

% Нахождение предельного инвариантного эллипсоида замкнутой системы с

% матрицей A+B*K0 и оптимизацией по параметру q;

A0=ABK0;

min_tr_Q=1e+4;

for q = 0.1:0.002:1;% 0.944:0.002:0.944

cvx_beginsdp

variable Qs(n, n) symmetric;

minimize( trace(Qs))

subject to

Qs >= eye(2)*10e-5;

[A0*Qs + Qs*A0'+q*Qs D;

D' -q*eye(l)]< 0; %условие асимптотич устойчивости

cvx_end

Qsf = double(Qs)

trQ=trace(Qsf);

ifmin_tr_Q>trQ

min_tr_Q = trQ;

Q_min = Qsf;

q_min = q

end;

end;

Q0 = Q_min;

q0=q_min;

Управляемость САУ. Модальный синтез в пространстве состояний    .

Управляемость САУ

Синтез модального регулятора и существование матрицыК, придающей системе заданные динамические свойства может быть гарантирован в том случае, если существует принципиальная возможность управления вектором х с помощью вектора входных воздействий u. Другими словами объект должен быть полностью управляем.

Определение: Линейная САУ, описываемая уравнением ̇x = Ax+ Bu , называется полностью управляемой, если она может быть переведена из произвольного начального состояния       x0 = x(t0 ) в произвольное      конечное Состояние x1 = x(t1 ) в течение конечного промежутка времени       t1 - t0 при помощи ограниченного управления u(t), t0 < t < t1 .    

Для линейной стационарной системы, описываемой уравнением ẋ= Ax+ Bu , проверка управляемости осуществляется наиболее просто. Для этого необходимо составить так называемую матрицу управляемости P = (B,AB,A ² B,...., A^n-1B). Эта матрица имеет блочную структуру: ее элементами являются матрицы B, AB, A²B и т.д., каждая размером n×k , поэтому Р имеет n строк и knстолбцов.

Необходимым и достаточным условием полной управляемости системы является равенство ранга матрицы Р порядку системы: rank P = n. Ранг матрицы – это наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы (т.е. всевозможных определителей, составленных из элементов, стоящих на пересечении выбранных строк и столбцов матрицы).

Пример. Дан объект,рассмотренный в предыдущем примере,где матрицыравны:

Определим матрицу управляемости. Находим:

Следовательно, данный объект по входу u полностью управляем, а значит может быть построен модальный регулятор.