Метод эллипсоидального оценивания областей фазового состояния систем с неопределенностями с помощью матричных систем сравнения

Пусть для системы

(1) dx/dt=f(t,x,p,w), 

где x ∈Rⁿ– вектор состояния,w∈W вектор неопределенных возмущений,p∈P- вектор неопределенных параметров, задано E(a₀,Q₀) - множество начальных состояний,P,W- множества допустимых значений неопределенных параметров и возмущений.

Требуется получить оценку состояния в виде инвариантного эллипсоида E(a(t),Q(t)) при p ∈P,  w ∈W и

(2) x(t₀)=x₀∈E(a₀,Q₀).

Задачи оценивания состояния с помощью матричных систем сравнения решаются в такой последовательности:

1) Берется матричная функция в виде V(x,t)=(x–a(t))(x–a(t))^T или в виде V(x)=xx^T

2) Вычисляется производная dV/dt в силу исходной системы.

3) Для a(t) задается уравнение da/dt=f(t,a,p₀,0)), где p₀–вектор номинальных значений не-определенных параметров (невозмущенная система).

4) Подставляется выражение da(t)/dt в dV/dt

5) С использованием матричных неравенств, а также ограничений на неопределенности, проводится мажорированиеdV/dt. В результате приходим к матричному дифференциальному неравенству (относительно конуса G₊) вида dV/dt<F(t,V)

6) По матричному дифференциальному неравенству выписывается матричная система dQ/dt=F(t,Q).Если полученная система обладает свойством монотонности решений по началь-ным данным или ее правая часть F(t,Q) удовлетворяет условию квазимонотонности, то диффе-ренциальное уравнений dQ/dt=F(t,Q) будет являться матричной системой сравнения для исход-ной системы.

При использовании матричных систем сравнения оценки решений строятся в виде множества

(3) [x(t,t₀,x₀)–a(t,t₀,a₀)][x(t,t₀,x₀)–a(t,t₀,a₀)]^T<Q(t,t₀,Q₀),

или в виде эволюционирующего во времени эллипсоида

(4) x(t,t₀,x₀)∈E[a(t,t₀,a₀),Q(t,t₀,Q₀)]

если Q(t,t₀,Q₀)>0, где Q(t,t₀,Q₀) – частное решение матричной системы сравнения с Q(t₀)=Q₀. Предположим что для системы (1) с матричной функцией

(5) V(t,x)=[x-a(t)][x-a(t)]^T

построена матричная система сравнения

(6) dQ(t) /dt= F (t, Q(t )), Q ∈ G₊, t ∈T ,

где Fквазимонотонно неубывающая относительно конуса G₊(неотрицательно определенных симметрических матриц размера n×n) матричная функция, удовлетворяющая условиям теоремы существования и единственности решения. Вектор-функция a(t)=a(t,t₀,a₀) есть частное решение с a(t₀)=a₀ дифференциального уравнения

(7) da/dt=f^*(t,a), 

где функция f^*:T×Rⁿ→Rⁿ либо совпадает с функцией f из уравнения (1) без учета возмущений, либо является некоторым ее приближением. Пусть Q(t)=Q(t,t₀,Q₀) - решение матричной системы сравнения (6) с Q(t₀)=Q₀, где Q₀- положительно определенная матрица из (2.2). Отметим, что в силу инвариантности G₊ для решений системы (6) и Q₀ ∈G₊, матричная функция Q(t,t₀,Q₀)∈G₊при всех t>t₀.Так как при t=t₀ Q₀–положительно определенная матрица,то решение Q(t,t₀,Q₀) будет положительно определенным по крайней мере на некотором интервале времени T₁=[t₀,t₀+ δ), (δ<τ), и неотрицательно определенным при всех t ∈T. Определим на T₁

квадратичную форму (8) v(t,x)=[x–a(t)]^TQ^–1(t)[x–a(t)].

Лемма 1.Множества P(t)={x:V(t,x)<Q(t)} и E(t)={x:v(t,x)<1} положительно инвариантны для решений системы (1).

Итак, согласно данной лемме решения уравнения (1), начинающиеся изначального эллипсоида E(a₀,Q₀), в дальнейшем всегда будут находиться в эллипсоиде

(9) E[a(t),Q(t)]={x:[x–a(t)]^TQ^–1(t)[x–a(t)]<1}, размеры которого определяются положительно определенным частным решением Q(t) матричной системы сравнения (6). Это же частное решение системы сравнения (6) определяет квадратичную функцию Ляпунова v(t,x) (8), которая выделяет в фазовом пространстве системы (1) инвариантное множество в виде эллипсоида

(10) E[a(t),Q(t)]={x:v(t,x)<1}.

Таким образом, матричная система сравнения (6) вместе с уравнением (7) описывают эволюцию эллипсоидов, являющихся инвариантными множествами для решений исходной системы (1). Кроме того, эти множества можно рассматривать как верхние оценки множеств достижимости исходной системы (1) при x₀∈P₀=E(a₀,Q₀) .

Таким образом, если для исходной системы с учетом ограничений на неопределенности построена матричная система сравнения, то построение оценок областей фазового состояния сводится к нахождению частного решения Q(t,t₀,Q₀) матричной системы сравнения.

Алгоритм построения оценок областей фазового состояния в виде инвариантных множеств (3), (4) состоит в следующем:

1)построение матричной системы сравнения;

2)нахождение при t ∈T частного решения a(t) системы без возмущений вида (7) с a(t₀)=a₀ и частного решения Q(t) матричной системы сравнения (6) с Q(t₀)=Q₀;

3) отображение множества E(t) (если Q(t) положительно определенная при t ∈T матрица) или множества P(t) (если Q(t) – неотрицательно определенная и при некоторых t∈Tвырожден-ная матрица) в заданном сечении фазового пространства.

Далее рассматриваются классы систем управления, для которых получены матричные системы сравнения и, следовательно, могут быть построены оценки областей фазового состояния и показателей качества переходных процессов.