Однорідна система рівнянь. Фундаментальна система розв'язків однорідної системи рівнянь.

Розглянемо однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь

                                                                                    (1)

Використовуючи знак підсумовування, і-те рівняння системи (1) можна записати в вигляді

А тоді всю систему (1) можна подати в вигляді

Для системи (1) розв’яжемо задачі, які ставляться в теорії лінійних алгебраїчних рівнянь:

1) питання сумісності;

2) питання визначеності і невизначеності.

Зрозуміло, що будь-яка однорідна система має розв’язок (0,0,…,0) (його називають нульовим або тривіальним), тому однорідна система завжди сумісна. Цей же результат випливає з теореми Кронекера-Капеллі, яка виконується для будь-якої однорідної системи.

З’ясуємо умови визначеності однорідної системи, застосувавши вже відомий критерій:

· Якщо ранг rA=n (n- кількісь невідомих), то система (1) має лишеодин розв’язок – нульовий, і система (1) є визначеною.

· Якщо ранг rA<n (n- кількісь невідомих), то система (1) має безліч розв’язків і система (1) є невизначеною.

Розглянемо властивості розв’язків однорідної системи.

Властивість 1.   Сума двох розв’язків однорідної системи є також розв’язком цієї системи.

Властивість 2.   Добуток розв’язку однорідної системи на деяке число є також розв’язоком однорідної системи.

Доведення.

Доведемо першу властивість, а друга доводиться аналогічно.

Нехай  і  – розв’язки системи (1). Треба визначити, чи є  розв’язком системи (1).

Розглянемо систему в вигляді (1’). Тоді з означення розв’язку, маємо системи правильних числових рівностей:

Підставимо в ліву частину системи (1’) – замість .

Отже  єрозв’язком системи (1).

З доведених властивостей випливає.

Наслідок. Будь-яка лінійна комбінація будь-яких розв’язків однорідної системи є також розв’язком цієї системи.

Введемо важливе для однорідної системи поняття фундаментальної системи розв’язків.

Означення.Максимальна лінійно незалежна система розв’язків однорідної системи рівнянь називається її фундаментальною системою.

З цього означення випливає, що фундаментальна система розв’язків задовольняє дві умови:

1) розв’язки, що входять до фундаментальної системи – лінійно незалежні;

2) будь-який інший розв’язок є лінійною комбінацією цих розв’язків.

З’ясуємо скільки розв’язків входить до фундаментальної системи.

Розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь можна розглядати як вектор n-вимірного арифметичного простору. Раніше було доведено, що в n-вимірному арифметичному просторі найбільша кількість лінійно-незалежних векторів містить n-векторів. Отже маємо попередній висновок: фундаментальна система розв’язків містить не більше n розв’язків. Більш точну інформацію містить наступна теорема.

Теорема. (про фундаментальну систему розв’язків)

Якщо ранг p матриці A менше кількості невідомих n, то однорідна система рівнянь має фундаментальну систему розв’язків, причому кількість розв’язків, що входить до фундаментальної системи дорівнює n-p.

Доведення. Нехай задано однорідну систему рівнянь

                                         (1)

Нехай ранг матриці

                                        = p.

Тоді кількість фундаментальних розв’язків (n-p). З того , що ранг rA=p<n випливає , що система (1) невизначена, тобто має безліч розв’язків.

Запишимо всі розв’язки в вигляді (**)

                             ,                                (**)

(зробивши попередньо для системи (1) припущення, при яких було отримано (**)).

Виберемо з цієї нескінченної множини розв’язків, (n-р) розв’язков за таким правилом :

1. Надамо вільним невідомим значення

Підставимо ці значення в формулу (**) , отримаємо значення для

 .

2. Надамо вільним невідомим другий раз інші значення . Підставимо в (**), отримаємо другий розв’язок.

….

Надамо вільним невідомим (n-p) раз значення .

Підставимо їх в (**), отримаємо

Отже ми отримали систему розв’язків:

1-ий розв’язок ( )

2-ий розв’язок ( )                                            (2)

…

( ) розв’язок ( )

Зауважимо, що вільні невідомі в розв’язках (2) вибирались будь-як, але за однією умовою

                                                                                    (3)

Доведемо, що система розв’язків (2) є фундаментальною.

Для цього ми повинні довести, що :

1. Розв’язки (2) лінійно незалежні.

2. Приєднання до (2) будь-якого розв’язку системи приводить до лінійно залежної системи.

    Для доведення першого пункту розглянемо матрицю К :

1. Доведемо rK=n-p. Це випливає з того що в цій матриці за умовою (3) є мінор порядку (n – p), що не дорівнює нулю. Мінорів більш високого порядку не можна скласти. Тоді з теореми про ранг матриці rK = n – p.

З того, що rK = n – p , використовуючи другий наслідок з теореми про ранг випливає, що в матриці К є лише (n – p) лінійно незалежних рядків. А в рядках записано розв’язки (2), тобто вони лінійно незалежні.

2. Для доведення другого пункту розглянемо довільний розв’язок системи (1) . Приєднаємо його до системи розв’язків (2) і доведемо, що отримана система розв’язків вже лінійно залежна. Для цього утворимо матрицю :

                  .

Доведемо, що ранг і цієї матриці дорівнює r   = n – p.

Доведемо, що в цій матриці лише (n – p) лінійно незалежних стовпців. Саме з цього тоді випливатиме, що r  = n – p. З того, що мінор в правому верхньому куту не дорівнює нулю, випливає, що останнні ( n – p ) стовпців матриці лінійно незалежні. Доведення цього факту таке ж саме як і в першій частині про ранг.

Доведемо, що перший, другий, і т.д. р-ий стовпчик матриці   є лінійною комбінацією останніх ( n – p ) стовпців. Це твердження випливає з формули (**).

Насправді, в першому стовпчику матриці записано значення для x₁ , в другому для x₂ , і т.д., в n-ому стовпчику – для x_n. З формули ж (**) випливає, що x₁,…, x_p є лінійною комбінацією x_p+1,…, x_n.

Тобто в матриці  – лінійно незалежними є лише останні (n-p) стовпців. Таким чином максимальна лінійно незалежна система розв’язків (ФСР) складається з (n-p) розв’язків.

Теорему доведено.

Зауваження.  Якщо rА = р = n , то в цьому випадку система визначена, має один тривіальний розв’язок, а система з одного нульововго вектора лінійно залежна, тому фундаментальної системи розв’язків немає.

Розглянемо множину розв’язків однородної системи з точки зору векторного простору. Множина розв’язків однорідної системи є підмножиною n-вимірного арифметичного простру. Більш того з властивостей розв’язків однорідної системи випливає, що в цій підмножині визначені операції додавання векторів і множення вектора на число. Тоді як випливає з попереднього множина усіх розв’язків однорідної системи є підпростором арифметичного простору. Базисом цього підпростору є фундаментальна система розв’язків. З тереми про фундаментальну систему випливає, що вимірність цього підпростору дорівнює n-r (n – кількість невідомих, r – ранг матриці системи).