Застосування теорії визначників до лінійних систем алгебраїчних рівнянь. Теорема Крамера та лема до неї

Лема.        Нехай задано визначник d n-го порядку. Сума добутків елементів і-го рядка на алгебраїчні доповнення до відповідних елементів j-го рядка дорівнює 0.

Доведення.

Нехай задано довільний визначник:

Доведемо, що

Для доведення побудуємо допоміжний визначник, який буде відрізнятися від визначника d лише одним рядком.

Цей визначник за властивістю 4 дорівнює 0.

Застосуємо до j-го рядка визначника наслідок з теореми Лапласа.

Залишилось довести, що . Ці рівності випливають з того, що при побудові алгебраїчних доповнень до елементів j-го рядка цей рядок викреслюється, а визначники d і d₁ відрізняються лише j-тим рядком.

Означення.   Визначником системи називається визначник складений з коефіцієнтів при невідомих.

Теорема Крамера. Нехай задано систему n алгебраїчних рівнянь з n невідомими, визначник якої не нульовий. Тоді невідома x_k дорівнює дробу, знаменником якого є визначник системи, а чисельником також є визначник, який можна отримати з визначника системи заміною k-го стовпця стовпцем вільних членів.

Доведення. Розглянемо систему

                                          (1)
з визначником системи

                                                                       (2)

Помножимо обидві частини 1-го рівняння на А_1k, 2-го на А_2k, n-го на А_nk.

Тоді отримаємо

       
k=1,2,…,n                                                 (3)

Введемо в розгляд деякий визначник.

Застосуємо до k-го рядка цього визначника наслідок теореми Лапласа

Застосуємо лему, тоді з рівності (3) маємо

Отже

Теорему Крамера доведено.

Векторний простір

Подальше вивчення векторного простору.

У довільному векторному просторі означення лінійно залежних і лінійно незалежних систем векторів, а тому і максимально лінійно незалежних систем і базису, переносяться один до одного з геометричного простору. В цьому курсі розглядаються лінійні простори, базиси яких містять скінчену кількість векторів.

Теорема. Будь-який вектор лінійного(векторного) простору єдиним чином розкладається за базисом.

Доведення.

Нехай задано довільний векторний простір V і його базис . Розглянемо довільний вектор , що належить V.

1. Доведення можливості розкладання.

Розглянемо систему  – лінійно залежну за означенням базису. Тоді існують числа , серед яких . Доведемо, що саме s w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/></w:rPr><m:t>+1</m:t></m:r></m:sub></m:sSub><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:lang w:val="UK"/></w:rPr><m:t>в‰ 0</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> .

Припустимо, що . Тоді .

Це означає, що вектори базису лінійно залежні, що суперечить означенню. Отже s w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:lang w:val="UK"/></w:rPr><m:t>+1</m:t></m:r></m:sub></m:sSub><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:lang w:val="UK"/></w:rPr><m:t>в‰ 0</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">  і виконується .

З рівності випливає можливість доведення, адже:

2. Доведення єдиності розкладання.

Припустимо, що існує вектор , для якого існує декілька різних розкладань:

   (1)

   (2)

Для визначеності нехай . Помножимо рівність (2) на -1 і додамо до (1).

Отже, ми отримали, що базисні вектори є лінійно залежними, що суперечить означенню базиса.

Теорему доведено.

Означення.   Коефіцієнти розкладання вектора  за базисом називаються його координатами у даному базисі.

Вправа. Довести, що: