Зв’язок між розв’язком неоднорідної і відповідної однорідної системи рівнянь.

Нехай задано неоднорідну систему

                                     ,                                         (1)

Означення. Відповідною однорідною системою називається система

                                     ,                                            (2)

з тими ж самими коефіцієнтами .

Звя’язок між розв’язками системи (1) та (2) описується наступними теоремами.

Теорема 1. Сума розв’язків неоднорідної і відповідної однорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь є розв’язком неоднорідної системи .

Теорема 2.Різниця двох розв’язків неоднорідної системи є розв’язком відповідної однорідної системи.

Доведення теореми 1. Нехай ( ) – розв’язок системи (1), ( ) – розв’язок системи (2). Треба довести , що  - розв’язок системи (1) .

За означенням розв’язку маємо систему правильних числових рівностей

                             , ( )                                         (3)

                          ,  ( )                                        (4)

Підставимо в ліву частину системи (1) замість  .

                               ( )

Перша властивість доведена.

Доведення теореми 2. Нехай ( ) , ( ) – розв’язки системи (1). Розглянемо упорядкований набір . Ми повинні довести, що це розв’язок системи (2) .

За означенням розв’язку маємо системи правильних числових рівностей:

                             , ( ),                                        (3)

                             , ( ).                                      (3’)

Підставимо в ліву частину рівнянь системи (2) замість  числа  відповідно і обчислимо її.

           .

Таким чином , одержуємо правильних числових рівностей.

Твердження.З цих двох теорем випливає такий алгоритм розв’язування неоднорідної системи рівнянь : множину всіх розв’язків можна одержати додавання до кожного розв’язку множини розв’язків однорідної системи одного розв’язку (окремого) неоднорідної системи.

Доведенння твердження.  

Нехай Н=  – множина розв’язків системи (1),

 – множина розв’язків системи (2).

Нехай  - окремий розв’язок системи (1).

Розглянемо суму  з будь-яким розв’язком однорідної системи.

                  + = ** є Н - розв’язок системи (1) .

Виникає питання, може система (1) має інші розв’язки, що отримуються за іншим алгоритмом ? Доведемо, що цього не може бути.

2) Нехай є Н. Доведемо, що  можна одержати додаванням до  якогось розв’язку з множини Q .  Розглянемо різницю (  -  ). Тоді за теоремою 2 , це розв’язок системи (2), тобто (  -  ) = * є Q. Отже .

Алгебра матриць

Розглянемо спочатку квадратні матриці одного і того ж n- го порядку. Для матриць введено три операції :

1) множиння матриць;

2) додавання матриць;

3) множиння матриці на число.

Множиння матриць.

Означення.       Добутком матриць А і В називається матриця С того ж самого порядку, що матриці А та В, елементи якої утворюються за таким законом:

елемент  розташованний в і-тому рядку та к-му стовпцю матриці С дорівнює сумі добутків елементів і-того рядка матриці А на відповідні елементти к-того стовпця матриці В.

               А=  ,         В=

 .

 Закони множення.

1. Множення матриць, взагалі кажучі, не комутативне. Для того, щоб в цьому переконатись,досить знайти дві матриці А і В, для яких А×В ¹ В×А .

                  А=  ,    В= .

А×В =  =   ,

В×А =   =  .

З наведеного прикладу бачимо, що А×В ¹ В×А . При цьому ми виходили з такого означення рівних матриць.

Означення.Матриці А і В називаються рівними, якщо на одних і тих самих місцях знаходяться рівні елементи.

Теорема . Множення матриць підпорядковується асоціативному закону.

Тобто ми повинні довести, що для будь-яких матриць А, В і С має місце рівність

                           ( А × В ) × С = А × ( В × С ) .

Нехай

А=( ) , В=( ) .    А × В = D = ( )   

( А × В ) × С = C ×D = F ( ) ,        ( В × С ) = Р ( ) 

А × (В × С ) = А× Р = Т ( ) .

В цих позначеннях треба довести, що F = Т , тобто   ( = 1,2,…, )

Обчислимо

              ,                        (1)

             ,                                   (2)

Підставимо (2) в (1) , отримаємо

                                                       (3)

Преходимо до обчислення  .

                                               (4)

                                              (5)

Підставимо (5) в (4), отримаємо

                  (6)

Порівнюючи (3) і (6), приходимо до висавку, що  , що й треба було довести .

Хоча множення матриць, взагалі кажучі, некомутативне, існує матриця, яка комутує з будь-якою матрицею А, і більш того, в добутку з даною матрицею не змінює цю матрицю А. Це так звана одинична матриця :

                                   Е =           .

Ця матриця має такі властивості :

1) А × Е = А , " А

2) Е × А = А , " А ,

а звідси випливає, що А × Е = Е × А .

Доведемо другу властивість.

                 Е × А = ×  =  

                           =  = А .

Так само доводиться перша властивість, тобто безпосереднім множенням.

Теорема.   .

Доведеня.Нехай задано матриці А і В , а С – добуток цих матриць. Треба довести, що

                            det C = det A ×det B .

Для доведення побудуємо визначник d порядку 2n :

             d =    .

Застосуємо до перших n рядків цього визначника теорему Лапласа

                           d = det A ×det B ( , тобто

                           d = det A ×det B                                                                    (1)

Перетворимо визначник d за допомогою восьмої властивості визначників. До (n+1) стовпчика додамо перший стовпець помножений на , другий – на , n-ий – на .

Аналогічно зробимо з (n+2)-им стовпцем, (2n)-им стовпцем. В правому нижньому куті отримаємо нульовий блок порядку n. А правий верхній кут, тоді перетворюється в елементи матриці С.

Застосуємо до цього визначника теорему Лапласа .

d = det C   .

Користуючись формулою суми 2n членів арифметичної прогресії, маємо

d = det C   ,       det C = det A × det B .

Вправа.           Довести самостійно єдиність одиничної матриці (скористатись методикою доведення єдиності нульового вектора будь-якого лінійного простору).