Матриці обернені до даних. Умови їх існування.

Внаслідок того, що множення матриць, взагалі кажучі, не комутативне, в цьому питанні слід розглядати ліві обернені матриці праві.

Означення.       Матриця, що умовно позначається  , називається лівою оберненою до матриці А, якщо вона задовольняє умову .

Означення.   Матриця, що умовно позначається , називається правою оберненою до матриці А, якщо вона задовольняє умову .

Для з’ясування умов існування обернених матриць введемо поняття невироджених (неособливих) і вироджених (особливих) матриць.

Означення. Квадратна матриця називається невиродженою, якщо її визначник не дорівнює нулю. В противному разі квадратна матриця називається виродженою.

Теорема 1.Жодна вироджена матриця не має ні лівої оберненої, ні правої оберненої матриці.

Доведення. Нехай задана матриця А, det A = 0. Треба довести, що не існує ні правої оберненої, ні лівої оберненої матриці. Припустимо, що існує хоча б одна з них. Нехай існує ліва обернена матриця. Тоді  (з означення). Застосуємо теорему про визначник добутку матриць:

                           det E = det  . det A ,

                           1 = 0, отримали суперечність.

Таким чином, не існує  , так само доводиться, що не існує  .

Теорему доведено.

Теорема 2.Для будь-якої невиродженої матриці існує і ліва обернена, і права обернена, і вони рівні .

Доведення.Нехай задано матрицю А.

                            ,

причому det A = d 0 .

Треба довести, що існує ліва обернена , права обернена матриці, та  =  . З матриці А побудуємо матрицю , заміною кожного елемента a_ij його алгебраїчним доповненням А_ij і протранспонувавши отримаємо матрицю:

                     =   .

Доведемо, що  задовольняє дві умови:

1) А  = Е ;

2)  А = Е .

Доведемо

1) Застосувавши правило множення, лему до теореми Крамера і наслідок з теореми Лапласа маємо:

А ×  =   =

=    .

Так само, безпосереднім множенням матриць доводиться друга рівність.

З першого пункта випливає  =  , а з другого пункту  =  .

.

Отже ми довели існування оберненої матриці та її обчислення:

                           =   .

Вправа. Довести єдиність матриці  (Доведення проводиться за схемою доведення єдиності протилежного вектора).