Лема до теореми Лапласа. Теорема Лапласа.

Лема(про добуток мінору на його алгебраїчне доповнення ).

Добуток мінору М на його алгебраїчне доповнення А складається з деяких членів визначника d, причому ці члени входять в М∙А і в d з одними і тими ж знаками.

Доведення .
При доведенні розглядають 2 випадки.

1) Окремий випадок. Мінор М розташований в перших k рядках і в перших k стовпцях визначника d.

З'ясуємо, як пов'язані алгебраїчні доповнення і доповняльний мінор.

A=M'(-1)^{1+2+…+k+1+2+..+k} = M'(-1)^2(1+2+..+k)=M'

Розглянемо добуток М на А. М - алгебраїчна сума k! доданків.

(1) а₁α₁.а₂α₂….а_nα_n - загальний член, де

α₁,α₂,…,α_k - перестановка з 1,2,…,k елементів

Причому цей член (1) входить в М із знаком, який визначається парністю перестановки

Нехай α₁,α₂,…,α_k має і₁ інверсію, тоді загальний член М

(-1)ⁱ¹а₁α₁.а₂α₂….а_kα_k

Загальний член А=М :

а_k+1α_k+1.а_k+2α_k+2….а_nα_n    (2)

α_k+1,α_k+2,…,α_n - перестановки з k+1,k+2,…,n

З'ясуємо, з яким знаком (2) входить до М:

Нехай α_k+1,α_k+2,…,α_n має і₂ інверсій, тоді загальний член М' буде

(-1)ⁱ²а_k+1α_k+1.а_k+2α_k+2….а_nα_n

Тоді загальний член М∙А буде набувати вигляду(3):

(-1)ⁱ¹а₁α₁.а₂α₂….а_kα_k∙ (-1)ⁱ²а_k+1α_k+1.а_k+2α_k+2….а_nα_n=

=(-1)ⁱ¹⁺ⁱ²а₁α₁.а₂α₂….а_kα_k∙а_k+1α_k+1.а_k+2α_k+2….а_nα_n

Якщо розглянути (3) без знака, то бачимо що це буде якийсь член визначника n-го порядку d, тому що з кожного рядка і стовпця взято по одному елементу.

З'ясуємо, з яким знаком цей член входить до визначника d. Для цього треба скласти підстановку з перших і других індексів

Розіб'ємо нижню перестановку на 2 частини. В І частині і₁ інверсія за припущенням, в ІІ - і₂ інверсія за припущенням. Жодний символ ІІ частини не утворює інверсій з символам І частини, тому що найменший символ ІІ частини k+1, найбільший символ І частини - k. Тому загальна кількість інверсій в нижній перестановці і₁+і₂.Таким чином, ми довели, що член (3) входить до М∙А і до визначника d з одним і тим же знаком (-1)ⁱ¹⁺ⁱ²

Окремий випадок доведено.

2) Загальний випадок. Нехай мінор М знаходиться в рядках з номерами m₁<m₂<…<m_k і стовпцями з номерами j₁<j₂<…<j_k

За допомогою перестановки рядків і стовпців заженемо вільно розташований мінор в лівий верхній кут. Ми хочемо, щоб m₁ рядок був на 1-му місці, m₂ - на 2-му, m_k - на k-му. Тобто над рядком m₁ зробимо m₁-1 транспозицію, над рядком m₂ - m₂-2 транспозицію, над рядком m_k - m_k-1 транспозицію. Над j₁стовпцем зробимо j₁-1 транспозицію, над j₂стовпцем зробимо j₂-2 транспозицію, над j_kстовпцем зробимо j_k-1 транспозицію. Підрахуємо, скільки взагалі зроблено транспозицій:

S=(m₁-1)+(m₂-2)+…+(m_k-k)+(j₁-1)+(j₂-2)+…+(j_k-k)=

=m₁+m₂+…+m_k+j₁+j₂+…+j_k-2(1+2+…+k)

Таким чином, ми змінили при цих перетвореннях знак визначника S раз. Одержали d₁

Між цими визначниками існує співвідношення:

d=(-1)^Sd₁=(-1)^{Sm-2(1+2+..+k)}d₁=(-1)^Smd₁(4)

Для визначника d₁ в І випадку було доведено, що М∙М' є d₁. Якщо всі ці члени ми помножимо на (-1)^Sm тоді  (-1)^Sm М∙М' є d₁(-1)^Sm, тобто M∙A є d.

Теорема Лапласа.     Якщо в визначнику d виділити k рядків, то визначник d дорівнює сумі добутків всіляких мінорів k-го порядку, розташованих в цих k рядках, на їх алгебраїчні доповнення.

Доведення.

Нехай задано визначник d.

Для визначеності проведемо доведення, виділивши перші k рядків. Складемо всілякі мінори k-го порядку, що знаходяться у перших k рядках. Нехай це будуть мінори М₁,М₂,…,М_s. Побудуємо до кожного з мінорів його алгебраїчне доповнення. Треба довести, що d = M₁A₁+M₂A₂+…+M_sA_s.

Для доведення рівності доведемо 2 факти: кожний член d належить правій частині, і навпаки, кожний член правої частини є членом лівої частини. Другий факт безпосередньо випливає з леми про добуток мінору на його алгебраїчне доповнення. Доведемо перше. Візьмемо загальний член визначника d.

а₁α₁.а₂α₂…а_kα_k∙а_k+1α_k+1.а_k+2α_k+2…а_nα_n, де α₁,α₂,…,α_n - перестановка з 1,2,…,n

Розіб'ємо загальний член на дві частини . Таким чином, ми довели, що а₁α₁.а₂α₂…а_kα_k∙а_k+1α_k+1.а_k+2α_k+2…а_nα_n

Для того, щоб збігались знаки розглянутого члена в d з М∙М', треба    замінити А₁ (це випливає з леми). Таким чином, перший факт також доведений.

Наслідок. Визначник дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка на їх      алгебраїчні доповнення.

Нехай в теоремі Лапласа k=1.

Виділимо і-ий рядок. Тоді мінорами І порядку, розташованими в цьому рядку, будуть елементи цього рядка.

З цього наслідку випливає, що обчислення визначника n-го порядку зводиться до обчислення n визначників (n-1)-го порядку. Користуючись властивістю 8) визначників можна звести обчислення визначника n-го порядку до обчислення лише одного визначника (n-1)-го порядку.

Для цього доведемо, що в будь-якому рядку (якщо не всі елементи рядка нулі) за допомогою властивості 8) можна отримати всі нулі, крім одного.

Нехай . Зробимо такі перетворення. До другого стовпця додамо перший, помножений на , …, до n-стовпця – перший помножений на . Тоді отримаємо

Таким чином, обчислення визначника n-го порядку зведено попереднім перетворенням до обчислення визначника (n-1)-го порядку