Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Поняття рангу системи векторів.
Нехай задано систему векторів довільного простору: (1) Означення. Максимальною лінійно незалежною підсистемою даної системи векторів називається така її лінійно незалежна підсистема приєднання до якої будь-якого вектора цієї ж системи приводить до лінійно залежної системи. Означення. Рангом системи векторів (1) називається кількість векторів, що входить до максимальної лінійно-незалежної її підсистеми. Зауваження Для того, щоб означення вимірності лінійного простору і означення рангу системи векторів було коректним, треба було б довести, що кількість векторів, що входять в будь-яку максимальну лінійно незалежну систему простору (а для рангу – будь-яку максимально-лінійно незалежної підсистеми) є однаковим. Для подальшого потрібне таке означення. Означення 1. Говоритимемо, що система векторів (1) лінійно виражається через систему векторів (2) , якщо кожний вектор системи (1) є лінійною комбінацією векторів системи (2): (3) Означення 2. Системи векторів (1) і (2) називаються еквівалентними, якщо кожна з них лінійно виражається через другу Властивість (транзитивності) Якщо система векторів (1) лінійно виражається через систему векторів (2), а система (2) через систему (3), тоді система (1) лінійно виражається через (3). Доведення. Для зручності доведення цієї властивості введемо символ . Нехай задано суму однотипних доданків Застосовуючи двічі цей символ, отримаєм для
Доведемо таку властивість: Для цього доведемо, що . Для доведення проведемо підсумування за стовпцями
Отже
Тепер перейдемо до доведення попередньої властивості транзитивності. Нехай задано системи:
За умовою (1) лінійно виражається через (2). Тоді за означенням - є лінійною комбінацією векторів системи (2) (i=1,2,…,S) (4) За умовою (2) лінійно виражається через (3), тому Підставимо (5) в (4), тоді отримаємо
Отже доведено, що система векторів (1) лінійно виражається через систему (3). Наслідок. Якщо система векторів (1) еквівалентна системі (2), а система (2) еквівалентна системі (3), то системи (1) і (3) еквівалентні. Транзитивність еквівалентних систем доводиться повторенням двічі наведених міркувань.
Поняття рангу матриці. Теорема про ранг матриці. Розглянемо довільну матрицю. Кожний стовпець матриці можна розглядати як упорядковану -ку чисел, тобто матриця - це система п-векторів -вимірного арифметичного простору. Використовуючи цю інтерпретацію і означення рангу системи векторів приходимо до доцільності такого означення. Означення. Рангом матриці називається кількість стовпців, що входить до максимальної лінійно незалежної підсистеми стовпців матриць. Або в скороченому вигляді можна дати таке формулювання. Означення. Рангом матриці називається максимальна кількість лінійно-незалежних стовпців. Теорема про ранг матриці. Найвищий порядок мінорів матриці, що не дорівнюють нулю, дорівнює рангу матриці. Доведення. Нехай найвищий порядок мінорів, що не дорівнюють нулю є число р. Це означає, що в матриці А є мінор р-того порядку, не рівний нулю. Мінори р + 1 і більш високих порядків дорівнюють нулю. Для визначеності припустимо, що мінор р-того порядку не рівний нулю знаходиться в лівому верхньому куту.
Треба довести, що ранг матриці дорівнює р. Для цього треба довести два факти: 1) в матриці А є р-лінійно-незалежних стовпців; 2) всі інші стовпці через них лінійно виражаються. 1) Доведемо, що лінійно незалежними (за нашим припущенням) є перші р стовпців матриці. Припустимо супротивне, що перші р стовпців матриці лінійно залежні. Тоді з означення лінійної залежності випливає, що існують числа , що виконується рівність: Розглянемо цю рівність покомпонентно: І компонента - р компонента - ……………………………………………… компонента - З перших р рівностей випливає що стовпці мінора М - лінійно залежні. Доведемо, що тоді мінор М дорівнює нулю. Розглянемо два випадки. а) р = 1 тобто М = - лінійно залежний, а звідси випливає що . б) р≥2 В цьому випадку лінійна залежність означає, що в мінорі М існує стовпець, що є лінійною комбінацією інших стовпців, а тоді за властивістю визначників мінор М = 0 Отже, ми прийшли до суперечності умові. Отже, перші р стовпців матриці А- лінійно незалежні. Для доведення другого факту побудуємо визначник.
Доведемо, що при всіх таких і та к визначник Для доведення розглянемо два випадки: 1) . В цьому випадку як визначник з двома рівними рядками. 2) . В цьому випадку , бо визначник стає мінором р + 1 порядку матриці А, а тоді за умовою, він дорівнює нулю. Розкладемо визначник за останнім рядком: . Розв'яжемо цю рівність відносно , . Надамо всі значення
Це означає, що к- тий стовпець матриці А є лінійною комбінацією перших р-стовпців. Оскільки к набуває значень , то ми довели, що всі стовпці, починаючи з р + 1 є лінійними комбінаціями перших р- стовпців. Що і треба було довести Таким чином за означенням ранг дорівнює р. Наслідкиз теореми про ранг: Наслідок 1. Максимальна кількість лінійно-незалежних рядків матриці дорівнює максимальному числу лінійно-незалежних стовпців матриці, тобто дорівнює рангу матриці. Доведення: Розглянемо довільну матрицю А
Нехай максимальна кількість лінійно-незалежних стовпців = р, тобто Треба довести, що максимальна кількість лінійно-незалежних рядків = р. Для доведення побудуємо транспоновану матрицю
1) Доведемо, що ранг матриці А' дорівнює р. З того, що випливає (з теореми про ранг), що в матриці А є мінор р - того порядку, не рівний нулю, , а всі мінори більш високих порядків дорівнюють нулю. Всі мінори матриці А в транспонованому вигляді знаходяться в матриці А'. Відомо, що при транспонуванні визначник не змінюється. Тому в матриці А' є мінор р - того порядку не рівний нулю, а всі мінори більш високих порядків дорівнюють нулю. З теореми про ранг випливає, що Тоді за означенням в матриці А' лише р лінійно незалежних стовпців, а вони є рядками матриці А Наслідок 2. Для того щоб визначник дорівнював нулю. Необхідно, щоб його рядки (стовпці) були лінійно незалежними. Доведення: Нехай визначник . Треба довести, що його рядки (стовпці) лінійно-залежні
Розглянемо матрицю, що відповідає цьому визначнику
Доведемо, що Припустимо супротивне, що , тоді з теореми про ранг випливає, що в А існує мінор d n - того порядку, не рівний нулю. А за умовою . Ми отримали суперечність. Звідси випливає, що Тоді за означенням рангу в матриці А лише р лінійно незалежних стовпців, інші n-р є їх лінійними комбінаціями. Тобто, загалом стовпці лінійно залежні. Тепер ми можемо сформулювати необхідну і достатню умову рівності визначника нулю. Теорема. Для того, щоб визначник n - того порядку дорівнював нулю необхідно і достатньо, щоб його рядки (стовпці) утворювали лінійно залежну систему. Доведення: Необхідність: є другим наслідком теореми про ранг. Достатність: Нехай рядки (стовпці) лінійно залежні, треба довести, що . При доведенні виникають два випадки. 1) Тоді -і його рядки лінійно-залежні 2) Тоді лінійна залежність рядків означає, що існує рядок, який є лінійною комбінацією інших. А тоді за властивістю 9 визначників визначник дорівнює нулю. |
|||||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-05-30; просмотров: 230. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |