Операції додавання і множення на число.

Означення.       Сумою матриць А і В , А=( ) , В=( ) , називається матриця D, елементи якої обчислюються за законом

D =  ( + ).

Означення. Добутком матриці А на число k , називається матриця F, елементи якої обчислюються за законом

F = (k ) .

Введені операції мають такі властивості :

1) А + В = В + А ;

2) (А + В)+С = А+(В + С) ;

3) $ Q : А + Q = А + Q + А ;

Q =   .

4) " А $ (-А) : А + (-А) = (-А) + А = 0.

Вона і снує , тому що є (-А) = (- ) .

5) А = А ;

6) k (l A) = (k l) A ;

7) k (A + B) = kA + kB ;

8) (k + l) A = kA + lA :

Перевірити самостійно.

Таким чином, множина всіх матриць є векторним простором, більш того, арифметичним, вимірності  . 

Розглянемо хоча б один базіс цього простору. Це так звані матриці  .

                       =    .

Таких матриць існує n².

,   , … ,               ,

,  , … ,             

Доведемо, що це базис. Доведемо, що це лінійно незалежні матриці. Для цього з’ясуємо, при яких k_ij виконується рівність

                               (*)

 = 0 .

,  .

Отже рівність (*) виконується лише в нульовому випадку усіх k_ij, тому матриці лінійно залежні.

З того, що вимерність простору матриць дорівнює , випливає, що матриці  утворюють базіс. Тоді будь-яка матриця А повинна бути лінійною комбінацією матриць . Знайдемо цю лінійну комбнацію.

Розглянемо довільну матрицю А. Доведемо, що

                       А =  .

Введемо в розгляд допоміжну матрицю:

.

Доведемо, що цю матрицю можна подати у вигляді .

Насправді

Розглянемо тепер матрицю А. Її можна подати у вигляді

Застосуємо до кожного доданку попередню формулу

Вправа. Довести, що операція множення матриць і додавання матриць підпорядковується дистрибутивному закону :

А (В + С) = АВ + ВС .

Доведення.

Необхідність.  Нехай матриця С є скалярною. Треба довести, що , " А. З того, що матриця С скалярна, вона має вигляд

                              С = .

Вище було доведено, що така матриця комутує з будь-якою матрицею А. Таким чином, необхідність доведена.

Достатність.  Нехай деяка матриця С загального вигляду

С =  ,

комутує з будь-якою матрицею А . Треба довести, що матриця С – скалярна матриця, тобто  ,  , якщо i ¹ j .

З того, що  для будь-якої матриці А, випливає  .

                                                       (1)

     .

(2)

Матриці (1), (2) за умовою теореми рівні, тому що на однакових місцях повинні знаходитись рівні елементи. Порівняємо елементи i-тих рядків ицх матриць.

0 =  , 0 = , … , , 0 =  ,   j = 1,2,…n.

Таким чином, ми одержали, що матриця С має діагональні елементи рівними, а елементи позадіагональні є нульовими, тобто матриця С – скалярна матриця.

Скалярні матриці.

Означення. Скалярною матрицею називається матриця вигляду

                             .

До класу скалярних матриць належить одинична матриця, а також нульова.

Позначимо k × Е =   .

Доведемо, що кЕ комутує з будь-якою матрицею

(к Е) А = А (к Е ) ,  А .

Безпосереднім множенням матриць, переконуємося

1) ( к Е ) А =  .

2) А ( к Е ) =  .

Звідси випливає, що скалярна матриця комутує в добутку з будь-якою матрицею А. Насправді справедливе і обернене. А тому має місце така теорема.

Теорема. Для того, щоб матриця була скалярною, необхідно і достатньо, щоб вона комутувала з будь-якою матрицею .