Загальна теорія лінійно-алгебраїчних рівнянь

Критерій сумісності лінійних алгебраїчних рівнянь

Теорема Кронекера-Капеллі.  Для того, щоб система лінійних алгебраїчних рівнянь була сумісною, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці системи дорівнював рангу розширенної матриці.

Означення.  Матрицею системи називають матрицю утворену з коефіціентів при невідомих.

Розширеною матрицею називають матрицю системи, яка утворена з матриці системи приєднанням стовпця вільних членів.

Доведення теореми.Нехай задана система

                                                                              (1)

      ,      .

Необхідність. Нехай система (1) сумісна. Треба довести, що  r A = r` . Скористаємось умовою, що система (1) сумісна: Нехай ( ) – розв’язок системи (1).

За означенням розв'язку маємо систему правильних числових рівностей

Ці рівності означають, що останній стовпець матриці `  є лінійною комбінацією стовпців матриці А. З цього випливає, що максимальна кількість стовців матриці А збігається з максимальною кількістю стовпців матриці `А , тобто  r A = r`A.

Достатність. Нехай r A = r A . Треба довести, що система (1) сумісна. Тоді

будь-яка максимальна лінійно незалежна система стовпців матриці А залишається максимально лінійно незалежною системою і в матриці `А. Таким чином, через цю систему, а тому і взагалі через систему стовпців матриці А, лінійно виражається останній стовбець матриці А. Отже, існує така система коефіцієнтів  , що сума стовпців матриці А, взятих з цими коефіцієнтами, дорівнює стовпцю з вільних членів, а тому числа   є розв’язком системи (1). Таким чином, якщо  r A = r  , система (1) сумісна.

Критерій визначеності і невизначеності системи

Теорема.  

1. Якщо ранг матриці А дорівнює рангу розширеної матриіці  і це спільне значення менше n (rA=r <n), де n – кількість невідомих у системі, то система (1) є невизначеною.

2. Якщо ранг матриці А дорівнює рангу розширеної матриіці  і це спільне значення дорівнює n (rA=r =n), де n – кількість невідомих у системі, то система (1) є визначеною.

Доведення.Нехай задано систему

За умовою rA=r =n

Рівність рангів означає, що в матриці  і   є лише р лінійно незалежних стовпців. Для визначенності, нехай це будуть перші р стовпців. Це також означає, що в матриц  і  лише р - лінійно-незалежних рядків. Нехай для визначенності це будуть перші р - рядків.  тому мінор р - того порядку, не рівний нулю розташований у лівому верхньому куту. Для системи (1) з попередньої інформаії випливає, що в ній лише р - лінійно незалежних рівнянь, причому за нашим припущенням це перші р з них, а інші s-р рівнянь є їх лінійними комбінаціями, тому за допомогою елементарних перетворень їх можна перетворити на рівняння такого типу  , отже їх можна відкинути.

В отриманій системі ліворуч запишемо ті невідомі, коефіцієнти при яких утворюютъ визначник р-того порядку, не рівний нулю. За нашим припущенням це перші р. Отже, отримаемо систему

Будемо розглядати цю систему, як систему р рівнянъ з р невідомими і з визначником, що не дорівнює нулю. Застосуємо теорему Крамера. Тоді матимемо для :

Розглянемо два випадки.

1) Нехай p<n. Тоді існують вільні невідомі  в тому сенсі, що їх можна задавати довільно. Тобто, в цьому випадку система має безліч розв’язків, а тому є невизначеною.

2) Нехай p=n. Покладемо в (5) :

Тобто в цьому випадку вільних невідомих система не має, тому система має один розв’язок , а тому є визначеною.

З формули (5) отримаємо співвідношення (**) для однорідної системи, важливе для наступного розділу.

Означення.       Однорідною системою лінійних алгебраїчних рівнянь називається лінійна система, вільні члени якої дорівнюють нулю.

Запишемо формулу (5) для однорідної системи:

Розкладемо цей визначник за елементами k-того стовбця

Розкриємо всі дужки, зведемо подібні, тоді отримаємо:

.