Пропорциональном скорости (затухающие колебания)

Рассмотрим, как влияет на свободные колебания сопротивление среды, приняв, что сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости:  («–» указывает, что R противоположна v). Пусть на точку при её движении действует восстанавливающая сила  и сила сопротивления  (рис. 3.12). Тогда

.

Дифференциальное уравнение примет вид

.

Рис. 3.12

Деля обе части на m, получим:

,                                 (3.38)

где обозначено

, .                                        (3.39)

Уравнение (3.38) представляет собой дифференциальное уравнение . Общее решение уравнения (3.38) имеет вид

                                                                          (3.40)

или по аналогии с равенством (3.30)

.                                   (3.41)

Входящие в (3.41) постоянные являются постоянными интегрирования и определяются по начальным условиям.

Колебания, проходящие по закону (3.38), называют затухающими (рис. 3.13), так как благодаря множителю  величина  с течением времени убывает, стремясь к нулю.

Промежуток времени , равный периоду , т. е. величину

,                                  (3.42)

принято называть периодом затухающих колебаний.

Рис. 3.13

Формулу (3.42), если учесть равенство (3.35), можно представить в виде

.               (3.42^/)

Из формул (3.42) и (3.42^/) видно, что наличие сопротивления увеличивает период колебаний. Однако, когда сопротивление мало , то величиной  по сравнению с единицей можно пренебречь и считать .