ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

И ИХ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Прямолинейное движение точки

Из кинематики известно, что при прямолинейном движении скорость и ускорение точки все время направлены вдоль одной и той же прямой. Так как направление ускорения совпадает с направлением действия силы, то отсюда следует, что свободная материальная точка будет двигаться прямолинейно тогда, когда действующая на нее сила имеет постоянное направление, а скорость точки в начальный момент равна нулю или направлена вдоль силы.

Рассмотрим материальную точку, движущуюся прямолинейно под действием приложенной к ней силы .

Положение точки на траектории определяется ее координатой х
 (рис. 3.1). Основная задача динамики в этом случае состоит в том, чтобы, зная , найти закон движения точки, т. е. .

Связь между х и R дает уравнение (3.3). Проектируя обе его части
на х, получим

.

Так как , то

                                                                                              (3.6)

Уравнение (3.6) называется дифференциальным уравнением прямолинейного движения точки.

Рис. 3.1

Часто уравнение (3.6) бывает удобнее заменить двумя дифференциальными уравнениями, содержащими первые производные:

                                                                                        (3.7)

                                                                                                       (3.7^/)

В тех случаях, когда при решении задачи надо искать зависимость скорости от координаты х, а не от времени t (когда сами силы зависят от х), уравнение (3.7) преобразуют к переменному х. Так как , то

                                           .                            (3.8)

Решение основной задачи динамики сводится к тому, чтобы из данных уравнений, зная силы, найти закон движения, т. е. . Для этого надо проинтегрировать соответствующее дифференциальное уравнение.

Входящие в уравнение (3.6) силы могут зависеть от времени t, положения точки, т. е. х и ее скорости, т. е. . Следовательно, в общем случае уравнение (3.6) с математической точки зрения представляет дифференциальное уравнение второго порядка.

                                            .                                     (3.9)

После того как с помощью тех или иных математических приемов уравнение (3.9) будет проинтегрировано, в полученное решение войдут две постоянные интегрирования С₁ и С_2, и общее решение будет иметь вид

                                               .                                 (3.10)

Постоянные С₁ и С₂ определяют, используя начальные условия.

Криволинейное движение точки

Рассмотрим свободную материальную точку, движущуюся под действием сил  (рис. 3.2).

Проведем неподвижные координатные оси О, х, у, z; проектируя на них обе части равенства  и учитывая, что  и т. д., получим дифференциальные уравнения криволинейного движения точки:

.      (3.11)

Рис. 3.2

Так как действующие на точку силы могут зависеть от времени, положения точки и скорости, то по аналогии с (3.9) правые части уравнения (3.11) могут содержать время t, координаты точки х, у, z и проекции ее скорости . Уравнения (3.11) позволяют решать как первую, так и вторую основную задачи динамики. Чтобы с помощью них решать основную задачу динамики, кроме действующих сил, надо знать начальные условия, т. е. положение и скорость точки в начальный момент. В координатных осях О, х, у, z начальные условия задаются в следующем виде: при t = 0

                                                                            (3.12)

ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ