ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС СИСТЕМЫ

Дифференциальные уравнения движения системы

Рассмотрим систему, состоящую из n материальных точек. Выделим какую-нибудь точку системы с массой m_к. Обозначим равнодействующие всех приложенных к точке внешних сил через , а равнодействующие всех внутренних сил – через . Если точка имеет при этом ускорение , то по основному закону динамики

                                          .                                    (4.2)

Аналогичный результат получим для любой точки. Следовательно, для всей системы

                                                                                  (4.3)

Уравнения, с помощью которых можно определить закон движения каждой точки системы, называются дифференциальными уравнениями движения системы в векторной форме. Выражения (4.3) являются дифференциальными, так как . Полное решение основной задачи динамики для системы состояло бы в том, чтобы, зная заданные силы, проинтегрировать соответствующие дифференциальные уравнения и определить закон движения каждой из точек системы в отдельности.

Однако такой путь обычно не применяют по двум причинам.
Во-первых, он слишком сложен математически. Во-вторых, в большинстве случаев при решении задач механики достаточно знать некоторые суммарные характеристики движения системы в целом, а не движения каждой из ее точек. Эти суммарные характеристики определяются с помощью общих теорем динамики.

Теорема о движении центра масс

Сложим почленно левые и правые части уравнения (4.3):

                                      .                                   (4.4)

Преобразуем левую часть. Из формулы (4.1^/) имеем:

Дважды продифференцируем

или

,                                         (4.5)

где  – ускорение центра масс системы.

Так как по свойству внутренних сил системы , то, подставив все найденные значения в равенство (4.4), получим:

                                     .                                         (4.6)

Уравнение (4.6) выражает теорему о движении центра масс системы, которая может быть сформулирована следующим образом: центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.

Проектируя обе части равенства (4.6) на оси координат, получим:

(4.6^/)

Значение теоремы:

1. Из уравнения (4.5^/) видно, что решения, которые мы получим, рассматривая данное тело как материальную точку, определяют закон движения центра масс этого тела.

2. Теорема позволяет при определении закона движения центра масс любой системы исключить из рассмотрения все неизвестные внутренние силы.