Количество движения и кинетическая энергия точки

Количество движения и кинетическая энергия точки – это основные динамические характеристики движения. Количеством движения точки называется векторная величина , равная произведению массы точки на вектор ее скорости . Направлен вектор  так же, как и скорость точки, т. е. по касательной к траектории.

Кинематической энергией (или живой силой) точки называется скалярная величина – .

Единицы измерения:

в системе СИ

;

в системе СГС

.

Импульс силы

Для характеристики действия, оказываемого на тело силой за некоторый промежуток времени, вводим понятия об импульсе силы.

Элементарным импульсом силы называется векторная величина , равная произведению вектора силы  на элементарный промежуток времени :

                                             .                                       (3.13)     

Элементарный импульс направлен по линии действия силы. Импульс  любой силы  за конечный промежуток времени  вычисляется как интегральная сумма

                                            .                                                (3.14)

Следовательно, импульс силы за любой промежуток времени  равен определенному интегралу от элементарного импульса, взятому в пределах от нуля до . Проекции импульса силы на оси координат определяются выражениями:

.               (3.15)

Теорема об изменении количества движения точки

Так как масса точки постоянна, а ее ускорение , то урав-
нение (3.3) (), выражающее основной закон динамики, можно представить в виде

                                          .                                     (3.16)

Уравнение (3.16) выражает одновременно теорему об изменении количества движения точки в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения точки равна геометрической сумме действующих на точку сил. Проинтегрируем это уравнение.

Пусть точка массой m, движущаяся под действием силы , имеет в момент времени t = 0 скорость V₀, а в момент t₁ – скорость V₁
(рис. 3.3).

Умножим обе части равенства (3.16) на  и возьмем от них интегралы. При этом при интегрировании справа пределами будут 0 и t; слева пределами интеграла будут соответствующие значения
скорости V₀ и V₁.

В результате получим:

.

Согласно формуле (3.14) окончательно имеем:

                                       .                                 (3.17)

Рис. 3.3

Уравнение (3.17) выражает теорему об изменении количества движения точки: изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов всех действующих на точку сил за этот промежуток времени.

При решении задач вместо векторного уравнения (3.17) часто пользуются уравнениями в проекциях

                                                                               (3.18)

Работа силы. Мощность

Для характеристики действия, оказываемого силой на тело при некотором его перемещении, вводится понятие о работе силы. При этом работа характеризует действие силы, которое определяет изменение модуля скорости движущей точки.

Введем понятие об элементарной работе силы на бесконечно малом перемещении dS (рис. 3.4).

Элементарной работой силы F называется скалярная величина

,                                   (3.19)

где – проекция силы на касательную к траектории;

dS – бесконечно-малое перемещение.

Рис. 3.4

Если разложить силу F на составляющие  и F_n, то изменять скорость точки будет составляющая , сообщая точке касательное ускорение. Составляющая F_n изменяет направление скорости (сообщает точке нормальное ускорение), на модуль скорости F_n влиять не будет.

Замечая , получаем из равенства (3.19)

                                                                                (3.20)

Таким образом, элементарная работа силы равна проекции силы на направление перемещения точки, умноженное на элементарное перемещение dS, или элементарная работа силы равна произведению модуля силы на элементарное перемещение dS и косинус угла между направлениями силы и перемещения.

Если  острый, то работа положительная;

     – тупой – отрицательная;

     – работа равна нулю.

   Если , то сила ускоряет движение;

            , то сила замедляет движение.

Найдем аналитическое выражение элементарной работы, для этого F разложим  по  координатным осям.

Элементарное  перемещение (рис. 3.5)

ММ¹ = dS.

Работу силы F на перемещение dS можно вычислить как сумму работ ее составляющих F_x, F_y, F_z на перемещения dx, dy, dz.

                                    .                                    (3.21)

Рис. 3.5

Работа силы на любом конечном перемещении М₀М₁ (см. рис. 3.4) вычисляется как интегральная сумма соответствующих элементарных работ

                                                                                (3.22)

или

                                                 (3.23)

Если , то .

Такой случай имеет место; когда действующая сила постоянна по модулю и направлению ( ) (рис. 3.6).

Единицы измерения:

в системе СИ – джоуль (1 Дж = 1 Н·м);

в системе СГС – 1 кг·м.

Мощностью называется величина, определяющая работу, соверша-емую силой в единицу времени. Если работа совершается равномерно, то мощность

                                           ,                                               (3.24)

где t₁ – время, в течение которого произведена работа.

Рис. 3.6

В общем случае

                                           ,                           (3.25)

где V – скорость движения.

Единицы измерения:

в системе СИ – ватт (1 Вт = 1);

в системе СГС – .

В технике часто используется лошадиная сила (л. с.):

1 л. с. = 75  = 736 Вт.