Закон сохранения движения центра масс

Из теоремы о движении центра масс можно получить важные следствия.

1. Пусть сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю:

.

Тогда из уравнения (4.6) следует, что  или .

Следовательно, если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то центр масс этой системы движется с постоянной по модулю и направлению скоростью, т. е. равномерно и прямолинейно.

2. Пусть сумма внешних сил не равна нулю, но эти силы таковы, что сумма их проекций на какую-нибудь ось (например ось Ох) равна нулю: .

Тогда согласно первому из уравнений (4.6^/)

 или .

Следовательно, если сумма проекций всех действующих внешних сил на какую-нибудь ось равна нулю, то проекция скорости центра масс системы на эту ось есть величина постоянная.

В частности, если в настоящий момент , то в любой последующий момент , т. е. центр масс системы вдоль оси х перемещаться не будет.

Пример. Движение по горизонтальной плоскости

При отсутствии трения человек с помощью своих мускульных усилий не мог двигаться вдоль горизонтальной плоскости, так как в этом случае сумма проекций на горизонтальную ось Ох всех приложенных к человеку внешних сил (силы тяжести и реакции плоскости) будет равна нулю и центр масс человека вдоль плоскости перемещаться не будет ( ).

Если человек вынесет правую ногу, то его левая нога скользнет назад, а общий центр масс останется на месте.

При наличии трения скольжению левой ноги назад будет препятствовать сила трения, в этом случае направленная вперед. Это и будет внешняя сила, которая позволяет человеку перемещаться вперед.

Аналогично можно рассмотреть движение автомобиля (рис. 4.2).

Рис. 4.2

Сила давления газа в двигателе является внутренней силой. Двигатель передает вращающий момент. При этом точка В стремиться скользнуть влево. Тогда на колесо будет действовать сила трения, направленная вправо. Эта внешняя сила и позволит центру тяжести машины двигаться вперед.

ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ

Количество движения системы

Количеством движения системы будем называть векторную величину , равную геометрической сумме (главному вектору) количества движения всех точек системы:

                                              .                                             (4.7)

Как видно из рис. (4.3), вектор  может принимать любые значения и даже оказаться равным нулю. Следовательно, по величине  нельзя полностью судить о характере движения системы.

Рис. 4.3

Найдем формулу, с помощью которой значительно легче
вычислять , а также уяснить ее смысл. Из (4.1^/) следует:

.

Беря от обеих частей производную по времени, получим:

 или .

Отсюда находим

                                           .                                         (4.8)

т. е. количество движения системы равно произведению массы всей системы на скорость ее центра масс.

Из формулы (4.8) видно, что если тело движется так, что центр масс остается неподвижным, то количество движения тела равно нулю.
Например, количество движения вращающегося вокруг неподвижной оси тела будет равно нулю (рис. 4.4).

Рис. 4.4

Если движение сложное, то величина  не будет характеризовать вращательную часть движения вокруг центра масс. Таким образом, количество движения характеризует только поступательное движение системы.