Свободные колебания без учёта сил сопротивления

Рассмотрим точку М, движущуюся под действием одной только восстанавливающей силы F, направленной к неподвижному центру и пропорциональной расстоянию от этого центру (рис. 3.8).

Рис. 3.8

Проекция силы на ось Ox будет равна . Сила , как видим, стремится вернуть точку в равновесное положение О, где .

Найдём закон движения точки С, составим дифференциальные уравнения движения

                                                                                             (3.30)

Разделив обе части на m и введя обозначение

,                                                        

приведём уравнение к виду

.                                        (3.31)

Уравнение (3.31) представляет собой дифференциальное уравнение свободных колебаний при отсутствии сопротивления. Решение этого однородного дифференциального уравнения ищут в виде .

Полагая в уравнении (3.31) , получим для определения n так называемое характеристическое уравнение, имеющее в данном случае вид .

Общее решение уравнения (3.31)

.                              (3.32)

Если вместо постоянных  и  ввести постоянные  и , такие, что , , то получим:

или

.                                            (3.33)

Скорость точки в рассматриваемом движении

.                               (3.34)

Колебания, совершаемые точкой по закону (3.32), называются гармоническими колебаниями. График их при  представлен
на рис. 3.9.

Рис. 3.9

Рассмотрим точку B, равномерно на окружности из скольжения , определяется углом ДОВ₀ = α (рис. 3.10).

Пусть постоянная угловая скорость вращения радиусов равна . Тогда в произвольный момент t угол  и легко увидеть, что проекция М точки В на диаметр движется по закону .

 Рис. 3.10

Величина а называется амплитудой колебаний (она определяет их начальную фазу),  – фазой,   круговой частотой колебаний.

Промежуток времени Т, в течение которого точка совершает одно полное колебание, называется периодом колебаний. По истечении этого периода фаза изменяется на . Следовательно, , откуда

.                                             (3.35)

Величина  – частота колебаний.

Отметим, что свободные колебания при отсутствии сопротивления обладают следующими свойствами:

1. Амплитуда и начальная фаза колебаний зависят от начальных условий.

2. Частота k, а следовательно, и период Т от начальных условий
не зависят.

Рассмотрим влияние постояннойсилы на свободные колебания точки (рис. 3.11).

Пусть на точку М кроме восстанавливающей силы F действует постоянная по модулю и направлению сила Р. Величина силы F по-прежнему пропорциональна расстоянию от центра О, т. е. .

Очевидно, что в этом случае положением точки М будет центр , отстраненный от оси О на расстояние , которое определяется равенством

или

,                                          (3.36)

где  –статическое  отклонение точки.

Рис. 3.11

Примем   за начало отсчёта, тогда

,

и, учитывая, что , будем иметь:

 или ,

что полностью совпадает с уравнением (3.31).

Постоянная сила Р не изменяет характера колебаний, совершаемых точкой под действием восстанавливающей силы F, а только смещает центр этих колебаний в сторону действия силы Р на величину статического отклонения .

Из (3.36) имеем:

.

Тогда из равенства (3.35) следует, что

.                                      (3.37)

В частности, если Р – сила тяжести, , то формула (3.37) имеет вид

.                                    (3.37^/)

Свободные колебания при сопротивлении,