Сложение поступательных движений

Пусть твердое тело движется поступательно со скоростью  относительно системы отсчета 0хуz, которая в свою очередь, движется поступательно со скоростью  по отношению к неподвижной системе отсчета 0х₁у₁ (рис. 2.39).

Рис. 2.39

Так как относительное движение – поступательное, то относительные скорости всех точек тела геометрически равны .

Переносное движение также поступательное, т. е. переносные скорости всех точек тела геометрически равны .

Следовательно, по теореме сложения скоростей, все точки тела в абсолютном движении будут иметь одну и ту же скорость , т. е. абсолютное движение тела будет поступательным.

Итак, при сложении двух поступательных движений со скоростями  и , результирующее движение тела также является поступательным со скоростью

                                           .                                     (2.32)

Задача сложения скоростей в этом случае сводится к задаче кинематической точки.

Сложение вращений вокруг двух параллельных осей

Рассмотрим случай, когда относительное движение тела является вращением с угловой скоростью  вокруг оси , укрепленный на кривошипе ba вокруг оси  с угловой скоростью  (рис. 2.40).                                                                           Если  и  параллельны, то движение тела будет плоскопараллельным по отношению к плоскости, перпендикулярной осям.

Исследуем отдельно случаи, когда вращения направлены в одну или разные стороны.

Рис. 2.40

Вращения, направленные в одну сторону

Изобразим сечение (S) тела плоскостью, перпендикулярной осям
(рис. 2.41).  

Следы осей в сечении (S) изображены буквами А и В. Легко видеть, что точка А, как лежащая на оси Аа^/, получает скорость только от вращения вокруг оси Вb^/, следовательно . Точно также . При этом векторы  и  параллельны друг другу (оба перпендикулярны АВ) и направлены в разные стороны. Тогда точка С является МЦС ( ), а следовательно, ось Сс^/ параллельна осям Аа^/  и Вв^/ является мгновенной осью вращения тела.

Рис. 2.41

Для определения угловой скорости  абсолютного вращения тела вокруг оси Сс^/ и положения самой оси, т. е. точки С, воспользуемся равенством

.

Из свойств пропорций

Подставляя  и , получим:

                                                                                            (2.33)

.

Итак, если тело участвует одновременно в двух направленных
в одну сторону вращениях вокруг параллельных осей, то его результирующее движение будет мгновенным вращением с абсолютной угловой скоростью  вокруг мгновенной оси, параллельной данной.

С течением времени мгновенная ось вращения Сс^/ будет менять свое положение, описывая цилиндрическую поверхность.

Вращения, направленные в разные стороны

Допустим для определения  (рис. 2.42).  

Рассуждая, как и в предыдущем случае, получим:

,

.              

Рис. 2.42

При этом векторы  параллельны и направлены в одну сторону. Тогда мгновенная ось вращения проходит через точку С, причем

или по свойствам пропорций 

.

Подставляя значения  и , получим:

                                                 ,                                  (2.34)

.

Итак, в этом случае результирующее движение также является мгновенным вращением с абсолютной угловой скоростью  вокруг оси Сс^/, положение которой определяется пропорцией

                                                .

Пара вращений

Рассмотрим частный случай, когда вращения вокруг параллельных осей направлены в разные стороны, но по модулю  (рис. 2.43).  Такая совокупность вращения называется парой вращений, а векторы  и  образуют пару угловых ускорений:

,

т. е. .

Тогда мгновенный центр скоростей будет

находиться в бесконечности и все точки тела в данный момент будут иметь одинаковые скорости .

Следовательно, результирующее движение тела будет поступательным (или мгновенно-поступательным) движением со скоростью , численно равной  и направленной перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы  и .

Иначе говоря, пара вращений эквивалентна поступательному (или мгновеннопоступа-
         Рис. 2.43 тельному) движению со скоростью , равной

моменту пары угловых скоростей этих вращений.

Примером такого движения является поступательное движение велосипедной педали DE относительно рамы велосипеда, являющееся результатом относительного вращения педали вокруг оси А, укрепленной на кривошипе ВА и переносного вращения кривошипа ВА вокруг оси В (рис. 2.44).

Угловые скорости  и   в любой момент времени равны, так как

. Скорость поступательного движения педали .

6.4.Сложение вращений вокруг пересекающихся осей

Рассмотрим случай сложения вращения вокруг двух пересекающихся осей (рис. 2.45). Когда абсолютное движение тела является результатом относительного и переносного вращений с угловыми скоростями  и  вокруг осей О и Оb, пересекающихся в точке О, то скорость точки О, очевидно, равна нулю.

Следовательно, результирующее дви-жение тела является движением вокруг       неподвижной точки О и для каждого элементарного промежутка времени представляет собой элементарный поворот с угловой скоростью  вокруг мгновенной оси, проходящей через эту точку.

Чтобы определить вектор , вычислим

скорость какой-нибудь точки М  тела, ра-

    Рис. 2.45            диус-вектор которой .

В относительном движении вокруг оси Оа точка М получает скорость , в переносном же движении вокруг оси Оb она получает скорость .

Следовательно, абсолютная скорость точки М

.

С другой стороны, так как результирующее движение тела является мгновенным вращением с некоторой угловой скоростью , то должно быть .

Такие результаты будут получаться для всех точек тела (т. е. при любых ). Отсюда заключаем, что

                                      .                                         (2.35)

Следовательно, при сложном вращении вокруг двух осей, пересекающихся в точке О, результирующее движение будет мгновенным вращением вокруг оси Ос, проходящей через эту точку, причем угловая скорость  этого вращения равна геометрической сумме относительной и переносной угловых скоростей.

С течением времени ось Ос меняет свое положение, описывая коническую поверхность, вершина которой находится в точке О.

Если тело участвует одновременно в мгновенных вращениях вокруг нескольких осей, пересекающихся в точке О, то, применяя полученное равенство ( ), придем к выводу, что результирующее движение является мгновенным вращением вокруг оси, проходящей через точку О, а угловая скорость этого движения

                                  .                                 (2.36)