Сложение ускорений. Теорема Кориолиса

Найдем зависимость между абсолютным , относительным  и переносным  ускорениями. Эти величины отличаются не только тем, что при их вычислении рассматриваются приращения разных векторов скоростей, но и тем, что эти приращения рассчитываются на разных перемещениях (рис. 2.16).

При определении  рассматривается приращение вектора  
на абсолютном элементарном перемещении , при вычислении  – приращение вектора  на относительном элементарном перемеще-
нии  и при вычислении  – приращение вектора  на переносном элементарном перемещении .

Рис. 2.16

Условимся обозначать элементарное перемещение, получаемое вектором при абсолютном перемещении, символом d, относительном – d₁ и переносном – d₂. Тогда

                                                                      (*)

где  – элементарное приращение вектора  на абсолютном перемеще-нии ;

 – элементарное приращение вектора  на абсолютном переме-щении ; 

   – элементарное приращение вектора  на абсолютном переме-щении .

Поскольку при сложном движении , то

Однако в этом равенстве, , , как и , представляют собой элементарные приращения векторов на абсолютном перемещении , поэтому стоящие справа величины не будут
равны

Для получения искомых зависимостей учтем, что абсолютное перемещение  слагается геометрически из относительного и переносного элементарных перемещений  и . Следовательно,  (элементарное приращение вектора  на абсолютном перемещении ) можно представить в виде

                                      ,                                        (**)

где  – элементарное приращение, получаемое вектором  на относи-тельном перемещении ;

 – элементарное приращение, получаемое тем же вектором на переносном перемещении .

Отношение  к  и дает согласно (*) величину . Для вычисления  учтем, что переносное движение (движение осей О, х, у, z) слагается в общем случае из поступательного перемещения вместе с полюсом О и поворота вокруг мгновенной оси ОР, проходящей через этот полюс,  с угловой скоростью .

При поступательном перемещении вектор  остается параллельным самому себе и никакого приращения не получает. При повороте вместе с осями О, х, у, z вокруг мгновенной оси ОР вектор  оставаясь постоянным по модулю, изменяет свое направление. Поворот
вектора при непоступательном переносном движении и является причиной того, что он получает приращение  на перемещении  (см. рис. 2.16, где  и А^// В^//  изображают вектор  и кривую АВ в момент , а пунктиром показан вектор  в момент ). Приращение, получаемое вектором при таком повороте, определяется формулой .

Следовательно,

 и ,

где  – угловая скорость переносного движения.

В результате из равенства (**) находим:

                                                             (А)

По аналогии с (**) величину  (элементарное приращение вектора  на абсолютном перемещении ) можно также представить в виде

                                     ,                                               (***)

где  – элементарное приращение, получаемое вектором  на относи-тельном перемещении ;

    – элементарное приращение того же вектора на переносном перемещении .

Согласно (*) .

Скорость точки в случае плоскопоступательного движения ( скорость полюса)

                                      .                                           (****)

Когда переносное движение не является поступательным ( ), значения  в точках М и М^/ будут разными. Вследствие этого вектор  на относительном перемещении  и получает приращение  
(см. рис 2.16), где  – значение  в точке М^/, т. е. в момент
/времени ; пунктиром показан вектор  в точке М, т. е. в момент .

Чтобы найти , необходимо продифференцировать ра-
венство (****), считая, что  и  постоянные, а вектор  изменяется только в относительном движении.

Тогда будем иметь:

, где .

Следовательно,

.

В результате из равенства (***) находим:

                                .                         (В)

Найденные в ходе расчетов соотношения (А, В) показывают, что в общем случае производные  действительно отличаются от и  , причем на одну и ту же величину ( ).

Введем обозначение

                               .                            (2.25)

Величина , характеризующая изменения вектора относительной скорости  в переносном движении и вектора  в относительном движении, называется поворотным или кориолисовым ускорением.

Окончательно получим:

                                  .                                            (2.26)

Формула выражает теорему Кориолиса: абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме трех ускорений: относительного, характеризующего изменение относительной скорости точки в относительном движении, переносного, определяющего изменение переносной скорости точки в переносном движении, и кориолисова, характеризующего изменение относительной скорости в переносном движении и переносной скорости в относительном движении.

Если переносное движение поступательное, то  и . Тогда .

Направление  определяется по правилу векторного произведения, а также по правилу Н.Е. Жуковского.

Чтобы определить направление вектора ускорения Кориолиса, необходимо вектор относительной скорости спроектировать на плоскость,

перпендикулярную вектору угловой скорости переносного вращения; полученный при этом вектор следует повернуть в этой плоскости на
угол 90⁰ в сторону  (рис. 2.17).

Рис. 2.17

Причины появления ускорения Кориолиса

Причиной появления ускорения Кориолиса является взаимное влияние относительного движения на переносное и переносного на относительное, в результате чего переносная скорость меняет модуль и направление, а вектор относительной скорости – направление.

Пример. Пусть по радиусу диска, вращающегося вокруг оси, перпендикулярной его плоскости , перемещается равномерно человек с относительной скоростью . Для какого-либо фиксированного момента времени , т. е. переносная скорость человека – скорость той точки диска, где в данный момент времени находится человек.

Пусть в момент времени  человек занимает положение М^/
(рис. 2.18).

Рис. 2.18

Очевидно, что за время  относительная скорость изменяется по направлению от  до  вследствие вращательного переносного движения.

В результате относительного движения человека из точки М в точку М^/ модуль переносной скорости изменяется:

.

Указанные изменения и вызывают появление кориолисова ускорения.