Вращательное движение твердого тела

Вращательным называется такое движение  твердого тела, при котором точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных неподвижной прямой, называемой осью вращения тела, и описывает окружности, центры которых лежат на этой оси. На рис. 2.9 АВ – ось вращения, Р – неподвижная плоскость, Q – подвижная плоскость. Двухгранный угол  – угол поворота тела.

Угол поворота будем считать положительным, если можно смотреть навстречу оси вращения и видеть его направление против часовой стрелки. Численное значение угла поворота выражается в радианах:
[ ] = рад.

  Угол поворота (в радианах) часто выражают через число оборотов N:

.

Угол , определяет положение не только подвижной     
Рис. 2.9            полуплоскости, но и всего вращающегося тела, поэтому

его можно рассматривать как угловую координату тела:

                                =                                                (2.19)

Выражение (2.18) является уравнением вращательного движения твердого тела.

Главными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела в целом являются угловая скорость  и угловое ускорение .

Пусть в момент времени  движение подвижной полуоси определяется углом , а в момент  – углом .

Предел отношения приращения угла к приращению времени при стремлении последнего к нулю, называется угловой скоростью тела в данный момент времени:

                                         (2.20)

Размерность [ ] – .

В технике часто при равномерном вращении используется числом оборотов в минуту .

Зависимость между   и  имеет вид

.

Величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости с течением времени, называется угловым ускорением:

                           .                               (2.21)

Весьма полезным является введение в рассмотрении вектора угловой скорости и вектора углового ускорения.

Вектором угловой скорости будем называть вектор, модуль которого равен абсолютному значению производной угла поворота тела по времени, направленной вдоль оси вращения в ту сторону, откуда вращение тела видно происходит против часовой стрелки.

,

где  – единичный орт оси z.

Вектором углового ускорения будем называть вектор, равный производной по времени от вектора угловой скорости:

.

Вектор , как и вектор , направлен вдоль оси вращения твердого тела.

Уравнения равномерного вращения тела

Вращение тела с постоянной угловой скоростью называется равномерным:

.

Проинтегрируем:

,

.

 – уравнение равномерного вращения тела.

Уравнения равнопеременного вращения тела

Вращение тела, при котором  угловое ускорение постоянно, называется равнопеременным вращением.

Если величина  увеличивается, то вращение называется равноускоренным, если уменьшается – равнозамедленным.

Разделим переменные:

.

Проинтегрируем:

,

.

Разделим переменные:

.

Проинтегрируем:

В результате получим:          

В общем случае

 – уравнение равнопеременного движения.

Знак «+»  соответствует ускоренному вращению, «–» – замедленному.