Скорость и ускорение точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

Рассмотрим точку М, находящуюся на расстоянии h от оси
вращения Аz (рис.2.10).

При вращении точка М будет описывать окружность радиуса h, плоскость которой перпендикулярна к оси вращения, а центр С лежит на самой оси.

Если за время  происходит элементарный поворот тела на угол , то точка М при этом совершит вдоль своей траектории элементарное перемещение . Тогда скорость точки будет

  или                       (2.22)

Рис. 2.10  

Скорость  называют еще линейной, или окружной, скоростью
точки М. Линейная скорость направлена по касательной к описываемой
точкой М окружности.

Как следует из формулы, линейные скорости точек вращающегося тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения (рис. 2.11).

Рис. 2.11

Для нахождения ускорения точки М воспользуемся формулами:

.

В нашем случае . Подставляя значение , получим:

или окончательно

Рис. 2.12

Полное ускорение точки М

или

                                                                              (2.23)

Отклонение вектора полного ускорения от радиуса описываемой точкой окружности определяется углом , который вычисляется по формуле

Подставляя значения  и , получаем:

СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

Основные понятия

Сложным движением называется движение точки относительно двух систем отсчета, одна из которых неподвижна, а другая произвольно перемещается относительно неподвижной системы координат.

 Движение точки М относи-тельно неподвижной системы координат (О, х₁, у₁, z₁) называется абсолютным (рис. 2.13), а скорость и ускорение в этом движении – абсолютной скоростью и абсолютным ускорением и обозначаются .

Движение точки М отно-сительно подвижной системы  координат (О,  х, у,  z), называется относительным, а скорость и

                  Рис. 2.13                    ускорение в этом движении –

относительной скоростью и относительным ускорением и обозначаются .

Подвижная система координат и все, что с ней неразрывно связано, называется переносной средой.

Движение точки М вместе с подвижной системой координат относительно неподвижной называется переносным движением. Скорость (ускорение) той точки переносной среды, с которой в данный момент времени совпадает наша точка, называется переносной скоростью (ускорением), обозначается .

Примером может служить движение человека по эскалатору: движение эскалатора является переносным, перемещение человека вниз или вверх по эскалатору – относительным, а движение по отношению к неподвижным стенам – абсолютное.

Движение точки М по отношению к неподвижной системе отсчета, которое названо абсолютным, является сложным, состоящим из относительного и переносного движения точки. Основная задача изучения сложного движения состоит в установлении зависимостей между скоростями и ускорениями относительного, переносного и абсолютного движения точки.

Сложение скоростей

Рассмотрим точку М, совершающую сложное движение. Пусть эта точка, двигаясь вдоль своей относительной траектории АВ, совершает за промежуток времени  относительное перемещение, определяемое вектором  (рис. 2.14).

Рис. 2.14

Сама кривая АВ, двигаясь вместе с подвижными осями (О, х, y, z)
(на рис. 2.14 не показаны), перейдет за тот же промежуток времени в какое-то новое положение А₁, В₁.

Одновременно та же точка кривой АВ, с которой в момент времени  совпадает точка М, совершит переносное перемещение, . В результате точка М придет в положение М₁ и совершит за время  абсолютное перемещение .

Из векторного треугольника ММ^//М₁

Деля обе части на  и переходя к пределу, получим:

По определению

.   

Что касается последнего соотношения, то, так как при  кривая А₁В₁ стремится к совпадению с кривой АВ, в пределе будем иметь:

                                         .   

В результате находим:

                                         .                                                  (2.24)

Таким образом, мы доказали теорему о сложении скоростей: при сложном движении абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей.

Пусть векторы направлены по касательным к соответствующим траекториям (рис. 2.15).

Рис. 2.15

Модуль абсолютной скорости:

С помощью параллелограмма скоростей решается ряд задач кинематики точки:

1) имея значения и , можно найти абсолютную скорость;

2) зная и направления скоростей и , можно найти модули этих скоростей,

3) если известны скорость и , можно найти скорость :

.