Момент силы относительно точки. Момент силы относительно оси. Теория пар в пространстве

В случае плоской системы сил момент силы относительно точки определён как алгебраическая величина: . При пространственном расположении сил этого определения недостаточно, так как плоскости, проходящие через линии действия сил, и точка, относительно которой определяется момент, различны. Поэтому момент  силы P относительно точки О в пространстве определяют как векторное произведение , где  – вектор-радиус, проведенный из точки О в точку приложения силы (рис. 1.40).

Таким образом, вектор  направлен перпендикулярно плоскости, содержащей линию действия силы и точку О, так, что сила  с конца вектора  направлена против часовой                стрелки.

          Рис. 1.40

Модуль вектора

.

Моментом силы относительно оси называется скалярная величина, равная моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, взятому относительно точки пересечения оси с плоскостью (1.41).

.

Рис. 1.41

Если сила  с конца оси z направлена против часовой стрелки, то момент считается положительным.

Итак, момент силы относительно точки – вектор, а момент силы относительно оси – скалярная величина.

При вычислении моментов относительно оси надо иметь в виду следующие частные случаи:

1. Если сила параллельна оси, то её момент относительно оси равен нулю .

2. Если линия действия силы пересекает ось, то её момент относительно оси равен нулю .

3. Если сила перпендикулярна оси, то её момент относительно оси равен произведению модуля силы на расстояние между силой и осью.

Аналитическое выражение для моментов силы относительно осей координат получим следующим образом.

Спроецируем силу  на плоскость  и разложим полученную проекцию на составляющие  и ; численно эти составляющие будут, очевидно, равны проекциям силы  на оси  (рис. 1.42).

Тогда

.

Последнее равенство вытекает из теоремы Вариньона. Но, как видно из чертежа, , следовательно, . Аналогично вычисляются моменты относительно других осей.

Рис. 1.42

В результате получим:

,

,

.

Зависимость между моментом силы относительно центра и относительно оси

Пусть на тело действует приложенная в точке  сила . Проведём
ось  и возьмем на ней произвольную точку .

.

Проведём теперь через любую точку  плоскость , перпендикулярную оси ; проецируя силу  на эту плоскость, найдём:

.

Но треугольник  представляет собой проекцию треугольника  на плоскость  (рис. 1.43). Угол между плоскостями треугольников равен . Тогда .

Умножим обе части уравнения на 2, находим:

,

Произведение  даёт проекцию  или .

Рис. 1.43

Момент силы  относительно оси равен проекции на эту ось вектора, изображающего момент данной силы относительно центра, лежащего на этой оси. Или проекция вектора момента силы относительно центра на ось, проходящую через центр, равен моменту силы относительно этой оси.