Приведение плоской системы сил к данному центру

Пусть на твёрдое тело действует какая-нибудь система сил . Возьмём в этой плоскости произвольную точку О, которую назовём центром приведения, и перенесём все силы в центр О (рис. 1.37).

Рис. 1.37

В результате на тело будут действовать:

система сил

и система пар сил, моменты которых равны:

.

Силы, приложенные в центре О, можно заменить одной силой , при этом  или . Согласно теореме о сложении пар, все пары можно заменить одной парой:

  или .

Главным вектором  называется векторная сумма сил, приложенных к твёрдому телу:

Проекции главного вектора на координатные оси равны суммам проекций слагаемых сил:

.

Модуль главного вектора

.

Направляющие главного вектора:

;

.

Главным моментом  относительно центра О называется сумма моментов сил, приложенных к твёрдому телу, относительно этого центра

Итак, мы показали, что всякая плоская система сил, действующая на абсолютно твёрдое тело, при приведении к произвольному центру О заменяется одной силой , равной главному вектору системы и приложенной в центре приведения, и одной парой с моментом , равным главному моменту системы относительно центра О.

Условия равновесия произвольной плоской системы сил

Для равновесия любой плоской системы необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялось условие:

.

1. Основная форма записи условия равновесия

Величины  и  определяются уравнениями:

где .

 может равняться нулю только тогда, когда одновременно . Следовательно, условия равновесия будут выполняться, если

.

Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы всех сил на каждую из двух координатных осей и суммы их моментов относительно любого центра, лежащего в плоскости действия сил, были равны нулю.

2. Вторая форма записи условий равновесия.

Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех этих сил относительно каких-нибудь двух центров А и В и сумма их проекций на ось Оx не перпендикулярную к прямой АВ, были равны нулю:

.

2. Третья форма

.

Должно соблюдаться условие, что  А, В, С не лежат на одной прямой.

ПРОСТРАНСТВЕННАЯ  СИСТЕМА СИЛ

Системы сходящихся сил

Равнодействующую пространственной системы сил можно определить, построив пространственный многоугольник.

В отличие от соответственно плоской задачи силовой многоугольник не является плоским, т. е. он представляет ломаную пространственную линию. Проекции равнодействующей силы R на оси декартовых координат x, y, z равны суммам проекций слагаемых сил на соответствующей оси (рис. 1.38).

Рис. 1.38

Модуль равнодействующей (рис. 1.39)

.

Направляющие косинусы

.

Рис. 1.39

Для равновесия твердого тела, к которому приложена пространственная система сходящихся сил, необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая равнялась нулю, т. е. чтобы силовой многоугольник был замкнут. При этом уравнения равновесия имеют вид

Произвольная пространственная система сил