Проверка статистических гипотез.

Одна из часто встречающихся на практике задач состоит в том, должно ли на основании данной выборки быть принято или опровергнуто некоторое предположение (гипотеза) относительно генеральной совокупности (случайной величины). Под статистической гипотезой понимается всякое предположение о генеральной совокупности. Стат гипотезы делятся на:1)гип-зы о параметрах распределения известного вида, 2) гип-ps о виде неизвестного распр-я. Обычно выдвигают нулевую гип-зу Но (основную) и альтернативную ей Н1 (конкурирующую). Простая гип-за - гип-за, однозначно фиксирующая распределение наблюдений. В ней идет речь об одном значении параметра, иначе- сложная гип-за.

Этапы проверки статистических гипотез

1. Формулировка основной гипотезы H₀ и конкурирующей гипотезы H₁. Гипотезы должны быть чётко формализованы в математических терминах.

2. Задание вероятности α, называемой уровнем значимости и отвечающей ошибкам первого рода, на котором в дальнейшем и будет сделан вывод о правдивости гипотезы.

3. Расчёт статистики φ критерия такой, что:

её величина зависит от исходной выборки ;

§ по её значению можно делать выводы об истинности гипотезы H₀;

§ сама статистика φ должна подчиняться какому-то известному закону распределения, т.к. сама φ является случайной в силу случайности .

4. Построение критической области. Из области значений φ выделяется подмножество таких значений, по которым можно судить о существенных расхождениях с предположением. Его размер выбирается таким образом, чтобы выполнялось равенство . Это множество и называется критической областью.

5. Вывод об истинности гипотезы. Наблюдаемые значения выборки подставляются в статистику φ и по попаданию (или непопаданию) в критическую область выносится решение об отвержении (или принятии) выдвинутой гипотезы H₀.

Основные методы определения точечных оценок.

1. Метод моментов (аналогии)

К. Пирсен в 1894.

Идея метода: для нахождения оценок неизвестных параметров распре-я теорит. начальные моменты следует приравнять к эмпирическим нач. моментам

того же порядка. Решая полученное Ур-е или систему Ур-ний находим оценку неизв. параметров распределения. Получ. оценки явл-ся сст-мы, но малоэф., т.е. явл-ся грубыми оценками.

2. Метод макс. правдоподобия.

Этот метод по сравнению с методом моментов явл-ся более сложым и точным.Он может быть использован для малых выборок. В основе этого метода лежит функц. макс. правдоподобия.

1). Х-ДСВ с законом

Р(Х=Хi, )=р(Хi, )

-неиз.

2). Х-НСВ, f(Xi, )

Суть метода состоит в том, чтобы найти из множества значений неизв. парам. такое значение , кот. максимизировало бы функцию правдоподобия.

Из опред-я метода чем правдоподобнее при фиксир. набор или выборка, тем больше, чем знач. ф-ии . Отсюда и название метода макс. правдоподобия.

Св-ва:

1. Оценка макс. правдоподобия явл-ся состоятельной.

2. Оценка макс. правдоподобия им. норм. асимпт. распред-е.

3. Решение Ур. правдоподоб. единственно.

4. Оценка макс. прадоподобия эф-на при .

3. Другие методы.

-метод наим. квадратов

-метод наим. абс. откл-й

-метод наим. макс.отклонения

Кажд. из указ. методов сущ-ет сам-но и обладает преим-м перед остальными.Основой этих методов явл-ся метод макс. правдоподобия.