Математическое ожидание случайной величины и его свойства.

Математическим ожиданием(средним значением)называют сумму следущегоряда,если он сходится М(х)=

Св-ва М(х):1)М(с)=с:2)М(к*х)=к*М(х),к-постоянная величина,К=const

Док-во:М(К*Х)=

3)Математическое ожидание

M(x+-y)=M(x)+-M(y)

M(x*y)=M(x)*M(y)

M[x-M(x)]=0

Дисперсия и среднее квадратичное отклонение случайной величины и ее свойства.

Опр:дисперсиейD(x) С.В.Х. называется математическое ожидание квадрата ее отклонение от математического ожидания D(x)=M[(x-

Если С.В. дискретная с конечным числом значений,то

D(x)= ,где а= М(х)

Если С.В.Х дискретная с бесконечно счетным,множествомзначений,тогда дисперсия D(x)= ,a=M(x),если ряд в правой части сходится

Опр:Среднимквадратическим отклонением (х) С.В.Х. называется число

Замечание:матем.ожидание М(х) характеризует среднее значение С.В.

Дисперсия D(x)характеризует квадратичное отклонение С.В. от среднего значения:

Св-ваD(x): 1)D(c)=0: 2)D(k*x)= *D(x)

Док-во:D(k*x)=M =

M =

3)дисперсия D(x+-y)=D(x)+D(Y)

4)D(x)=M(x²)-(M(x))²

Док-во:D(x)=M(x-M(x))²)=M(x²-2x*M(x)+M²(x))=M(x²)-2M(x)*M(M(x))+M(M²(x))=M(x²)-2M(x)*M(x)+M²(x)=M(x²)-M²(x)

M(x) M²(X)-постоянные величины

Математическое ожидание и дисперсия числа появления события в независимых опытах.

Пусть производится n независимых опытов, ве­роятность появления события в каждом из которых равна Р. Чис­ло появлений события в этих n опытах является случайной величиною Х распределённой по биномиальному закону. Однако, непосредственное вычисление её среднего значения громоздко. Для упрощения воспользуемся разложением, которым будем пользоваться в дальнейшем неоднократно: Число появления события в n опытах состоит изчисла появлений события в отдельных опытах, т.е.

где имеет закон распределения (принимает значение 1, если событие в данном опыте произошло, и значение 0, если событие в данном опыте не появилось).

	0	1
Р	1-р	р

Поэтому

или

т.е. среднее число появлений события в n независимых опытах равно произведению числа опытов на вероятность появления события в одном опыте.

Например, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,1, то среднее число попадания в 20 выстрелах равно 20×0,1=2.

Производится n независимых испытаний и вероятность появления события в каждом испытании равна р. Выразим, как и прежде, число появления события Х через число появления события в отдельных опытах

Так как опыты независимы, то и связанные с опытами случайные величины независимы. А в силу независимости имеем

	0	1
Р	1-р	р

Но каждая из случайных величин имеет закон распределения и , поэтому по определению дисперсии

,

где q=1-p

В итоге имеем ,

Среднее квадратическое отклонение числа появления событий в n независимых опытах равно .