Закон распределения случайных величин входящих в систему

Рассмотрим случай двух дискретных случайных величин ( X,Y ). Считаем, что множество значений каждой из них конечно - Обозначим

- вероятность того, что Х примет значение ,а Y – значение . Законом распределения системы ( X,Y ) называется совокупность всех возможных значений , т.е. пар чисел и соответствующих им вероятностей . Обычно закон распределения задается в виде прямоугольнойтаблицы с двойным входом:

Сумма всех вероятностей , стоящих в матрице, равна единице как сумма вероятностей полной группы несовместных событий:

Зная закон распределения системы ( Х,Y ), можно найти законы (ряды) распределения отдельных величин Х и Y, входящих в систему. Обозначим

События

несовместны, поэтому вероятность того, что Х примет значение по теореме сложения вероятностей , т.е. равна сумме вероятностей «столбца » .

В общем случае и, аналогично, .

Т.е., для того, чтобы найти вероятность , надо просуммировать вероятности «столбца ». Аналогично, сложив вероятности «строки », получим вероятность . После этого можно составлять законы распределения для Х и Y.

Если между случайными величинами и существует стохастическая связь, то одним из параметров, характеризующих меру этой связи является ковариация .

Нормальное распределение. Функция Лапласа

Нормальнымназывается распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности

Найдем вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, в заданный интервал.

Обозначим

Тогда

Т.к. интеграл не выражается через элементарные функции, то вводится в рассмотрение функция

Которая-называется функцией Лапласаили интегралом вероятностей. Значения этой функции при различных значениях х посчитаны и приводятся в специальных таблицах.

Ниже показан график функции Лапласа.

Функция Лапласа обладает следующими свойствами:

1) Ф(0) = 0;2) Ф(-х) = - Ф(х); 3) Ф(Y) = 1.

Функцию Лапласа также называют функцией ошибок и обозначают erf x.

Еще используется нормированнаяфункция Лапласа, которая связана с функцией Лапласа соотношением:

Ниже показан график нормированной функции Лапласа.