Формула полной вероятности.

Опр.: пусть событие А может произойти только совместно с одним из событий Н₁, Н₂,…,Н_n образующих полную группу несовместных событий, тогда соб. Н₁, Н₂,…,Н_nназываются гипотезами.

Теорема: вероятность соб.А наступающего совместно с гипотезами Н₁, Н₂,…,Н_nравна:

- формула полной вероятности

где, Р(Н_i) – вероятность i-той гипотезы

Р_Нi(А) – вероятность соб.А при условии реализации гипотезы Н_i

Доказательство: соб.А можно считать суммой попарно несовместных событий АН_1, АН₂, …АН_n несовместные события, тогда из теорем сложения вероятностей:

Р(А)+Р(АН₁+…+ АН_n)=Р(АН₁)+…+Р(АН_n)=

=Р_Нi(А)* Р(Н₁)+…+ Р_Нn(А)* Р(Н_n)=

9. Формула Бейеса.

Теорема гипотез (формула Байеса)– следствие теоремы умножения и ф-лы полной вероятности. Имеется группа несовместных гипотез H1,H2...Hn, чьи вероятности равны соответственно P(H1),P(H2)...P(Hn). В рез. Σ происходит событие А. Как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением А (найти условную вероятность P(Hi|A))? Выражая P(A) из ф-лы полной вероятности, имеем соотношение Байеса: .Док-во: вероятность появления А опред. по ф-ле полной вероятности: . Поищем условные вероятности  при условии, что произошло событие А. По теореме умножения имеем . Подставим P(A), получим . чтд. Ф-лы Байеса позволяют переоценить вероятности после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Формула Бернулли.

Пусть производится серия из n независимых испытаний и в каждом испытании событие А наступает с одной и той же вероятностью P(A)=p и не наступает с вероятностью . Условно появление события А называется «успехом», а не появление - «неудачей». Испытания называются независимыми, если исход каждого последующего не зависит от исходов предыдущих испытаний. Последовательность независимых испытаний такого рода называется схемой Бернулли. Вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А произойдет ровно m раз – P_n(m). Тогда имеет место формула Бернулли: P_n (m)= .

Доказательство: Рассмотрим серию из n испытаний, в которых событие А произошло m раз: .Вычислим вероятность этого произведения: P ( = =p^mq^{n – m}. P_n (m)= .

Формула Пуассона и условия ее применимости.

Использование формулы Бернулли при больших n и m вызывает трудности из-за громоздких вычислений => возникает необходимость в отыскании вероятности  обеспечивающих необходимую точность.

Теорема: если число испытаний неограниченно увеличивается n  и вероятность р наступления соб.А в каждом испытании уменьшается р , но так что их произведение n*p остается величиной постоянной (λ=np=const), то вероятность

Доказательство: λ=np =>p=λ/n подставляем это равенство в формулу:

= = =

Перейдем к пределу в обеих частях неравенства при n :

,

=>

Формулу Пуассона применяют обычно когда n≥50, np≤10