Теорема сложения вероятностей.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

«Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий»

Р(А + В + …k) = Р(А) + Р(В) + …+ P(k), где А, В, …, k – несовместные.

Доказательство.(сумма двух событий)

Пусть в результате испытаний из общего числа n равновозможных и несовместных исходов испытаний А благоприятствует m₁ случаев, а В – m₂ случаев. Тогда вероятность события А (по классич. опр.) равна m₁/n, а

Р(В) = m₂/n , т.к. события А и В несовместные, то ни один из случаев благоприятствующий событию А, не благоприятствует событию В, след. (А+В) благоприятствует (m₁+m₂) случая, след.

                   Р(А+В) = (m₁+m₂)/n = m₁/n + m₂/n = P(A)+P(B)

Следствие 1:

Сумма вероятностей событий, образующих полную группу равна 1.

Следствие 2:

Сумма вероятностей противоположных событий так же равна 1.

!!!Замечание: Рассмотренная теорема применима только для несовместных событий.

Теорема сложения вероятностей совместных событий.

«Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения»

Р(А+В) = Р(А)+Р(В)-Р(АВ) А и В – совместные события

Доказательство:

Пусть n-число возможных исходов опыта; m_А-число исходов благоприятствующих соб.А; m_B-//-соб.В; m_АВ – число исходов опыта, при котором происходят оба события, т.е. исходов благоприятных А*В, тогда число исходов, при котором имеет место событие А+В=m_A+ m_B- m_AB (т.к. в сумме m_A+m_B, m_AB учтено дважды: как исходы благоприятные А, и исходы благоприятные В

Сумма и произведение совместных событий и их геометрическая интерпретация.

См билет 3