Зависимые и независимые события. Теорема умножения вероятностей.

Опр.: условной вероятностью соб.А называется вероятность соб.В при условии, что событие А произошло (пример: пусть соб.А - это извлечение из колоды в 32 карты туза; соб.В – вторая вынутая карта из колоды оказалось тузом. Если после 1-го раза карта возвращается в колоду, то вероятность вынуть туз не меняется и равна 4/32, если же 1-я карта в колоду не возвращается, то осуществление соб.А прибудет к тому, что в колоде остается 31 карта из которой 3 туза  – условная вероятность

Теорема (умножения зависимых событий): вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного события на условную вероятность другого, при условии, что 1-ое событие произошло:

Доказательство: Пусть n-число возможных исходов опыта; m_А-число исходов благоприятствующих соб.А; m_B-//-соб.В, m_АВ – число исходов опыта, при котором происходят оба события,. для вычисления условной вероятности , множеством возможных исходов нужно считать m_А(т.к. А произошло), а множеством благоприятных исходов, необходимо считать исходы, при которых произошли и А, и В.

=>

Пример: для поражения цели необходимо попасть в неё дважды. Вероятность 1-го попадания 0,2, затем она не меняется при промахах, но после 1-го попадания увеличивается в 2 раза. Найти вероятность того что цель будет поражена первыми двумя выстрелами.

Решение: соб.А – попадания при первом выстреле

Соб.В - //- при 2-ом выстреле

 ,

А и В совместные события

Пусть вероятность соб.В не зависит от появления соб.А

Событие В называют независимым от события А, если появление соб.А не изменяет вероятности события В, т.е. если условная вероятность соб.В равна его безусловной вероятности:

 подставив данное равенство в

 получим

 , отсюда

 ,

т.е.условная вероятность соб.А в предположении, что наступило соб.В, равна его безусловной вероятности. Другими словами, соб.А не зависит от соб.В

Итак, если соб.В не зависит от соб.А, то и соб.А не зависит от соб.В; это значит, что свойство независимости событий взаимно.

Для независимых событий теорема умножения  имеет вид

 ,

Т.е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависимыми.

На практике о независимости событий заключают по смыслу задачи. Например, вероятности поражения цели каждым из двух орудий, поэтому событие «первое орудие поразило цель» и «второе орудие поразило цель» независимы.