Собственные векторы и собственные значения

Вектор  называется собственным вектором линейного оператора , если найдется такое число , что

                                      (62)

Число  называется собственным значением оператора , соот-ветствующим вектору :

                                (63)

Вектор  переводится в ему коллинеарный вектор:

                   (64)

                  (65)

или

                                                                        (66)

Система (65) имеет нулевое решение. Для того, чтобы она имела ненулевое решение необходимо и достаточно, чтобы

                                                                            (67)

Определитель матрицы  называется характеристическим многочленом оператора  или матрицы , а само уравнение (67) называется характеристическим уравнением  или.

Пусть оператор  (матрица ) имеет  линейно независимых собственных векторов  с собственными числами . Векторы  примем за базисные. Тогда

,

( , если  и , если ).

Следовательно, матрица оператора  в базисе из собственных векторов имеет диагональный вид:

                             (68)

Верно и обратное: если  линейного оператора  имеет диагональный вид в некотором базисе, то все векторы этого базиса являются собственными векторами .

  Например, найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора  и нормировать их, если задана матрица оператора :

Решение. Составим характеристическое уравнение: 

,

Находим собственные векторы:

1) при ;

Получим систему однородных уравнений:

 2) при

Получим систему однородных уравнений:

 3) при ;

Получим систему однородных уравнений:

  Вектора  при  являются собственными векторами. Числа - собственные значения.

Нормируем полученные собственные векторы.   Подберем  так, чтобы длина вектора равнялась единице:

.

.

Ответ:

Линейная модель обмена

(модель международной торговли)

Пусть имеется n стран . Национальный доход каждой страны .

Пусть  - доля национального дохода, которую страна  тратит на покупку товаров страны . Предположим, что национальный доход тратится либо на закупку товаров или внутри страны, на импорт из других стран, следовательно, выполняется условие:

                       (69)  

Составим матрицу , которая называется структурной матрицей торговли. Сумма в столбцах равна единице.

Выручка от торговли для любой страны  равна:

.       (70)

Для баланса торговли необходимо, чтобы выручка от торговли для каждой страны была не меньше, чем ее национальный доход. Такое условие называется условием бездифицитности:

                                                                                (71)

Рассмотрим матричное уравнение . Его можно записать так:

.                                  (72)

Таким образом, задача свелась к отысканию собственного вектора матрицы , соответствующего собственному значению .

Например, требуется найти соотношение цен трех товаров, если набор этих товаров  имеют одинаковую стоимость.

Пусть имеется три вида товаров   и их цены . Составим систему уравнений:

        , следовательно

.

Например, при , .

Ответ: 15:10:3 – соотношение цен трех товаров.

Квадратичные формы

Квадратичной формой  от  переменных называется сумма

                            (73)

где -действительные числа, причем

.                                      (74)

Матрица , ,называется матрицей квадратичной формы. Матрица  является симметрической, так как элементы матрицы симметричны относительно главной диагонали.  

Например, для квадратичной формы трех переменных составить матрицу.

Решение. Составим матрицу, используя свойство (74):

Ранг матрицы  называется рангом квадратичной формы.  

Пусть задана матрица переменных . Выражение (73) в матричной форме запишется так:

                        (75)

Пусть заданы две матрицы  и , которые связаны

соотношением: , где матрица , , является невырожденной матрицей перехода от матрицы к матрице Тогда

Вывод: при невырожденном линейном преобразовании  матрица квадратичной формы (73) принимает вид:

                                 (76)

  Квадратичная форма (73) называется канонической, если все ее коэффициенты  при , а матрица  является диагональной:

                         (77)

Ранг квадратичной формы равен числу не равных нулю коэффициентов канонической формы.

    Теорема: Любая квадратичная форма (73) с помощью невырожденных линейных преобразованиях переменных может быть переведена в канонический вид (77).

Такое преобразование не единственное, одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду по-разному. Но при этом различные канонические формы обладают рядом общих свойств: ранг матрицы квадратичной формы не меняется при линейных преобразованиях.

Среди приемов перевода квадратичной формы в каноническую форму можно выделить две:

1) выделение полных квадратов для переменных;

2) использование ортогональных преобразований.

Пусть задана квадратичная форма , известна ее матрица . Найдем собственные значения и собственные векторы этой матрицы. Пусть имеется матрица перехода  от одного ортонормированного базиса  в другой :

,                         (78)

- нормированные собственные векторы, соответствующие собственным числам . Имеем формулы перехода:

.                         (79)

Квадратичная форма переходит в каноническую форму:

, .       (80)

Квадратичная форма (73) называется положительно (отрицательно) определенной, если при всех переменных, из которых хотя бы одно отлично от нуля, выполняется условие: Существуют разные методы определения знака квадратичной формы.

Теорема 1: для того, чтобы форма была положительно (отрицательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения  матрицы  были положительные (отрицательные).

Теорема 2 (критерий Сильвестра): для того, чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы квадратичной формы были положительны: ;дляотрицательно определенной квадратичной формы знаки главных миноров должны чередоваться, начиная с отрицательного значения:

Если квадратичная форма не поддается определению, то ее называют знаконеопределенной.

Упражнения

1. В пространстве линейный оператор  в базисе  задан матрицей . Найти образ  вектора .

2. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы:

а) ; б) ; в)

3. В базисе  оператор  задан матрицей . Найти матрицу оператора  в базисе ; .

4. Привести к каноническому виду квадратичную форму:

 а) ;

б)  

Составить матрицы квадратичной формы.

5. Исследовать на знакоопределенность квадратичные формы:

а) ;

б)  

Составить матрицы квадратичной формы.

6. Найти соотношение цен трех товаров, если наборы этих товаров