Векторное произведение векторов

Тройка векторов называется упорядоченной, если указано, какой из них читается первым, какой второй и т.д.

Упорядоченная тройка векторов называется правой, если после           приведения их к общему началу из конца третьего вектора           кратчайший поворот от первого ко второму совершается против           часовой стрелки. В противном случае тройка векторов называется           левой (рис.7).

Рис. 7

    Векторным произведением двух векторов  называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1. длина  равна произведению модулей векторов на синус угла

 между ними:

 ;                     (43)

 2. вектор  перпендикулярен каждому из векторов ;

 3. векторы  и  образуют правую тройку векторов.

Геометрический смысл векторного произведения заключается в том, что модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах:

    Основные свойства векторного произведения:

1. (произведение векторов некоммутативно);

2.  (из определения);

3. , т.е. число можно выносить за знак векторного произведения;

4.

5. , если  - коллинеарные.

    Векторное произведение можно найти в координатах, если векторы заданы в координатной форме. Справедлива теорема: если векторы  заданы своими координатами: , то векторное произведение  определяется формулой:

                  (44)

Смешанное произведение трех векторов

   Смешанным произведением трех векторов  называется число,

равное скалярному произведению вектора  на векторное произведение :

.                                (45)

Свойства смешанного произведения:

1. ;

2. если векторы компланарные, ;                                       (46)

3.  где  - объем параллелепипеда, построенного на этих векторах;                                       

4.  где  - объем треугольной пирамиды, построенной на этих векторах.

    Смешанное произведение в координатной форме можно посчитать, используя теорему: если векторы  заданы своими координатами , то

.                                (47)       

Упражнения

1.Найти длину и направляющие косинусы вектора .

2. Найти проекцию вектора  на вектор .   

3. Найти площадь и углы параллелограмма, построенного на векторах  и .

4. Проверить, являются ли компланарными векторы ,

, .

5. Заданы векторы , . Найти а) ;

б) ; в) ; г) .

6. Найти угол между векторами  и , если , .

7. Разложить вектор  по базису векторов , , .

8. Найти объем треугольной пирамиды, построенной на векторах ; ; .

9. При каком значении  векторы ,  перпендикулярны.

10. Найти модуль векторного произведения векторов , .   

6.N – мерный вектор и векторное пространство

6.1 Определение N – мерного вектора

     N-мерным вектором называется упорядоченная совокупность действительных чисел, записываемых в виде: , где – i-тая компонента вектора. Например, в экономике используются векторы - потребительская корзина, - соответствующие цены товаров.

Два вектора называются равными , если равны соответствующие компоненты

Операции над векторами

1. Сложение векторов.

Суммой векторов  одной размерности называется вектор  если его компоненты вычисляются по формуле:

2. Умножение вектора на число.

Произведением вектора  на число  называется вектор , компоненты которого вычисляются по формуле: , при этом

Свойства операций:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)  - противоположный вектор, следовательно

8)

Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее приведенным выше свойствам, называется векторным пространством

Если под векторами  рассматривать элементы любой природы, то такое множество образует линейное пространство.