Проекции вектора в прямоугольной системе координат

Пусть в пространстве задана система координат  XYZO и произвольный вектор .

Проекции X, Y, Z вектора  на оси координат называются его координатами, при этом пишут: .

    Теорема 6. Каковы бы ни были точки , координаты вектора  определяются по формулам:

                                           (29)

Следствие 1: если  выходит из начала координат, т.е. , то координаты  равны координатам его конца;

Следствие 2:                       (30)

 Следствие 3: Если  и , то 

                      (31)

Следствие 4: Если , то             (32)

Следствие 5: Если ,   то                       (33)

Направляющиеся косинусы вектора

Пусть дан произвольный вектор , выходящий из начала координат, не совпадающий с осями координат образующий с ними углы . Найдем длину вектора:

.

В силу определения проекции вектора на ось получим:

,

,                               (34)

.

Выразим косинусы углов, которые называются направляющими косинусами:

                                 ,  

,                               (35)

                                 .

Основное свойство косинусов: .

Разложение вектора по базису

Упорядоченная тройка неколлинеарных векторов  называется базисом и любой вектор  может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов :

,                         (36)

где  - координаты вектора  в базисе векторов ( ).  В прямоугольной системе координат за базис выбирают единичные вектора осей координат: , . Тогда справедлива теорема.

Теорема.Любой вектор  может быть единственным образом представлен в виде

- числа.             (37)

Такое представление называется разложением по базису ,а вектор  имеет координаты .

Например, записать разложение вектора по базису. Вектор будет иметь вид:  

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух ненулевых векторов                 называется число (скаляр) равное произведению длин этих            векторов на косинус угла между ними:

,                           (38)

или

=                   (39)

Типичным примером скалярного произведения в физике является формула работы , где  - сила, точка приложения которой перемещается на расстояние .

Свойства скалярного произведения векторов:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. , если , и, обратно, , если .

    Скалярное произведение можно находить в координатах. Справедлива теорема: если векторы  заданы своими координатами: , , то их скалярное произведение определяется формулой:

                              (40)

Следствие 1: , если                                 (41)

Следствие 2:                  (42)