Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ)

Пусть имеется n отраслей экономики, каждая из которых производит свою продукцию. Часть продукции идет на внутренние нужды отраслей и потребление продукции другими отраслями, часть продукции предназначена для личного и общественного потребления (вне сферы материального производства).

   Пусть  - общий (валовой) объем продукции i-ой отрасли , - объем продукции i-ой отрасли, потребляемой j-ой отраслью в процессе производства , - объем конечного продукта i-ой отрасли для непроизводственного потребления. Тогда валовой объем продукции i-отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями, и конечного продукта:

                       (18)

Уравнение (18) называется соотношениями баланса.

Если все величины уравнения (18) имеют стоимостное выражение, то уравнения (18) называют стоимостный межотраслевой баланс.

Назовем коэффициентами прямых затрат продукции i-отрасли на производство единицы продукции j-отрасли выражение:

                         (19)

  Если предположить, что в течение некоторого времени (месяц, квартал, год) коэффициенты  будут постоянны и зависеть только от сложившейся технологии производства, то зависимость материальных затрат, от валового выпуска будет линейной, т.е.

.                                 (20)

Поэтому модель межотраслевого баланса называется линейнойи

пишут:                             

                                              (21)

Введем векторы:

1) вектор валового выпуска - ,

2) вектор конечного продукта -

Введем матрицу прямых затрат

Тогда уравнение баланса в матричной форме может быть записано так:

                                      (22)

Основная цель межотраслевого баланса: отыскать такое решение X, которое при известной матрице прямых затрат А обеспечит заданный вектор конечного продукта Y.

Найдем решение матричного уравнения:

Если матрица  не вырожденная, т.е. , то

.                                  (23)

Матрица называется матрицей полных затрат. Каждый

элемент  матрицы  - это величина валового выпуска продукции

i-ой отрасли для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-ой отрасли. Значения .

  Решение уравнения (22) существует при условии, что матрица  продуктивна. Матрица  называется продуктивной, если для любого  существует решение . Модель Леонтьева в этом случае называется продуктивной.

Существуют разные критерии продуктивности матрицы . Для решения задач будем использовать один из них: матрица  - продуктивна, если максимальная сумма элементов ее столбцов не превосходит единицы, причем хотя бы один из столбцов имеет сумму элементов строго меньше единицы, т.е. для

                              (24)

и сумма элементов в столбце меньше единицы

                                   (25)

Рассмотрим пример. Заданы две отрасли. Нормы потребления и объемы выпуска продукции этими отраслями заданы в табл. 4.

Таблица 4

Найти необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечный продукт первой отрасли должен увеличиться в 2 раза, второй отрасли на 20%.

Решение. Введем матрицы: потребления ,

валового выпуска и конечного продукта .

 Составим матрицу прямых затрат, оценим коэффициенты матрицы :     

, ,

, .

Матрица прямых затрат имеет вид: . Матрица

продуктивна (сумма по столбцам: 0,75 и 0,5).

Найдем матрицу полных затрат :

.

Найдем новый вектор конечного продукта: .

Вычислим необходимый объем валового продукта для  матрицы :

Упражнения

1. Пусть швейное предприятие выпускает три вида продукции юбки, блузки и платья, при этом использует три вида тканей: хлопок, лен, шелк. Нормы расхода каждого вида тканей на изготовление единицы продукции заданы в таблице. В ней же указаны план выпуска каждой продукции, стоимость единицы каждого вида тканей, стоимость доставки тканей на предприятие (табл. 5).

Таблица 5

Найти матрицу затрат сырья, общую стоимость сырья, матрицу затрат на перевозку тканей, матрицу стоимостей сырья на изготовление единицы продукции, общую стоимость производства продукции.

2. Известно, что на предприятие завезли ткани в следующем объеме: хлопка – 530 м, льна – 345 м, шелка – 590 м. Найти план производства юбок, блузок и платьев, используя нормы расхода предыдущей задачи. Оценить общий доход предприятия, если известно, что предприятие реализует изготовленную продукцию по ценам: юбка – 700 руб., блузка – 800 руб., платье – 2000 руб.

3. Для производства печатных каталогов, буклетов и листовок предприятию требуется три вида сырья: бумага, краски, скрепки. Нормы расхода сырья на изготовление единицы продукции, стоимость сырья и готовой продукции заданы в табл. 6.

Таблица 6

Найти матрицу затрат сырья, общую стоимость сырья, матрицу стоимостей сырья на изготовление единицы продукции.

4. Используя запасы сырья и нормы расхода сырья на изготовление печатной продукции предыдущей задачи, найти план производства предприятия и его прибыль, если готовую продукцию предприятие собирается реализовывать по ценам: каталог – 50 руб., буклет – 2 руб, листовка – 1 руб.

Векторы