Определение линейного оператора

Пусть заданы два линейных пространства: . Если задан закон, по которому каждому вектору  ставится в соответствие единственный вектор , то говорят, что задан оператор (преобразование, отображение) , действующий из  в , и пишут

.                                        (59)

Вектор  называется образом вектора , вектор называется прообразом вектора . Если пространства совпадают, то оператор  отображает пространство  в себя.

Оператор  называется нулевым,если переводит все векторы в нулевые векторы: .

Оператор  называется тождественным, если переводит любой вектор  в себя: .

Оператор  называется линейным, если для любых векторов  и любого действительного числа  выполняются равенства:

1) (свойство аддитивности);

2) (свойство однородности).

Пусть в пространстве  задан базис . Любой вектор можно разложить по этому базису: . Тогда . Каждый из векторов можно разложить по базису :

………………………

Распишем :

= + +…

+ =

= + +…

+ .

С другой стороны . Так как разложение по базису единственное, то справедливы равенства:

…………………….

.

Матрица коэффициентов данной системы называется матрицей оператора в базисе , ранг матрицы называется рангом оператора.

Вывод:каждому линейному оператору  соответствует матрица в данном базисе и наоборот: каждой матрице -го порядка соответствует линейный оператор -мерного пространства.

 Введем для векторов  матрицы-столбцы: , .

Тогда систему равенств можно записать в виде матричного уравнения:

.                                   (60)

Рассмотрим пример. Найти образ  вектора , если оператор  задан матрицей

.

Решение. Найдем матрицу .

Следовательно, образ вектора имеет вид: .

Действия над операторами

1. Суммой операторов  и  называется оператор , такой, что .

2. Произведением оператора  на число называется такой оператор, что .

3. Произведением операторов  и называется такой оператор, что .

Сами операторы , ,  являются линейными.

Матрица оператора в новом базисе

Пусть задано два базиса  и  в пространстве . В каждом из них имеются матрицы  оператора . Найдем связь этих матриц. Известно, что  и , где - матрица перехода из базиса векторов  в базис векторов .   

Из условия  следует, что . Тогда:

 , , ,

, ,

Следовательно,

.                                   (61)

Например, найти матрицу  линейного оператора в базисе , заданного матрицей  в базисе : , , .

Составим матрицу перехода из базиса в базис: .

Найдем обратную матрицу для матрицы : .

 Тогда .