Определение и начальные сведения о векторах

Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В – конец отрезка, направление задается от А к В.

Направленный отрезок называется вектором. Обозначается .

Расстояние между началом и концом вектора называется длинной или модулемвектора, обозначается .     

Вектора  называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или принадлежат параллельным прямым, при этом  при совпадении направления их называют противоположно направленные  если направление векторов противоположное, векторы называются сонаправленные

Векторы называются равными , если они коллинеарные,

одинаково направлены и их длинны равны: .

Векторы  называются противоположными, если они коллинеарные, противоположно направлены и их длины равны:

.

Три вектора  называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или ей параллельны.

Линейные операции над векторами

Пусть даны два вектора .

Суммой двух векторов  называется вектор , который идет из начала вектора  в конец вектора , если вектор  приложен к концу вектора (рис. 3).

   Рис. 3

Разностью векторов  называется такой вектор , который в сумме с вектором дает вектор : (рис.4).

Рис. 4

При вычислении по правилу параллелограмма суммой векторов является диагональ, выходящая из общего начала этих векторов, а разностью векторов  является диагональ, не имеющая общего начала с векторами .

 Произведением вектора  на число называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину равную  и тоже

направление, что и вектор , если , и противоположное        направление, если (рис.5).

Рис. 5

Вектор, модуль которого равен нулю, называется нулевым или нуль        вектором:

Единичным вектором , или ортом, называется вектор, сонаправленный с вектором , координаты которого получены делением координат вектора  на его длину: . Тогда любой вектор можно представить в стандартной форме:

Основные свойства линейных операций над векторами

1.  - переместительный закон;

2. - сочетательный закон сложения;

3.  - сочетательный закон умножения;

4.  - распределительный закон относительно суммы чисел;

5. - распределительный закон относительно суммы векторов;

6. ;

7. .

8. Теорема о коллинеарных векторах.

Два ненулевых вектора  коллинеарные тогда и только тогда, когда они пропорциональны:

.                                    (26)

9. Теорема о компланарных векторах.

  Три ненулевых вектора  компланарные тогда и только тогда, когда они принадлежат одной плоскости или один из них является линейной комбинацией двух других:

                               - числа.                     (27)

  Рассмотрим пример. Пусть заданы вектора . Покажем, что они компланарные:

т.е. вектор  является линейной комбинацией двух других векторов.

Проекция вектора на ось

Пусть задан вектор  и некоторая ось . Из начала и конца вектора опустим перпендикуляры на ось, точки пересечения с осью обозначим (рис. 6).

Рис. 6

Проекцией вектора  на ось  называется длинна                направленного отрезка  со своим знаком: ,  где  знак « » зависит от совпадения направления вектора  и оси  или несовпадения.

Теорема. Проекция вектора  на ось  равна длине вектора      умноженной на косинус угла между вектором  и осью :   

                                                                         (28)

Следствие 1: проекция вектора на ось:

     1) положительная, если угол  - острый;

     2) отрицательная, если угол  - тупой;

     3) равна нулю, если угол .

Следствие 2: проекции равных векторов на одну и ту же ось, равны:

                                  .

Теорема.Проекция суммы векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось:

   Теорема.При умножении вектора  на число , его проекция умножается на это же число, т.е.