Методы решения систем линейных уравнений

1)Метод Крамера.

Теорема Крамера: Пусть D - главный определитель системы, состоящий из коэффициентов при неизвестных; D_j – определители, полученные из главного, заменой j –того столбца этого определителя столбцом свободных членов. Тогда, если D¹0, то система имеет единственное решение, определяемое равенствами:

                                                                        (14)

Формула (14) называется формулой  Крамера.

Исследование наличия решения системы:

а) если  система имеет единственное решение;

б) если  но хотя бы один из определителей для неизвестных не равен нулю, то система не имеет решения;

в) если  и все определители для неизвестных равны нулю, то система имеет множество решений.

Например,  найти решение системы уравнений

Решение: найдем главный определитель системы

.

Составим определители для неизвестных и вычислим их:

Ответ: .

2)Метод обратных матриц.

Систему линейных уравнений (12) представим в матричной форме:

. 

Найдем решение уравнения:

Решение системы можно записать так:

                                         (15)

Например, найти решение системы уравнений матричным методом

 Решение: введем матрицы: ; .

Определитель матрицы  уже найден  Следовательно, обратная матрица существует.

  Найдем обратную матрицу: .

  Вычислим матрицу :

Ответ: .

3)Метод Гаусса.

Метод Гаусса иначе называется методом исключения переменных. Метод основан на преобразовании уравнений с использованием преобразований,  называемых гауссовыми.

К преобразования Гаусса относятся следующие действия:

а) можно менять уравнения системы местами;

б) умножать уравнение на любое число, не равное нулю;

в) к любому уравнению, умноженному на число, не равное нулю, можно прибавлять другое уравнение, умноженное на любое число, не равное нулю.

Суть метода Гаусса:

1) в системе выбираем уравнение, в котором имеется неизвестное с ненулевым коэффициентом (лучше выбирать коэффициент 1). Это уравнение объявляем ведущим, а неизвестное, подлежащее исключению, называем главным.

2) ведущее уравнение ставим на первое место и с помощью преобразований Гаусса исключаем главное неизвестное из остальных уравнений;

3)  данную процедуру применяем к следующим уравнениям.

Например, найти решение системы уравнений методом Гаусса

Решение: запишем систему в виде расширенной матрицы коэффициентов при неизвестных и свободных членов; используя преобразования Гаусса, приведем матрицу к треугольному виду:

= =

Теперь вычислим неизвестные:

, , .

Ответ:

В результате исключения неизвестных последнее уравнение может иметь вид:

1) , то система имеет единственное решение;

2) , то система не имеет решения;

3) , то система имеет множество решений.

  Например, найти все базисные решения системы уравнений

  Решение: система имеет три уравнения и четыре неизвестных. Выполним преобразования матрицы коэффициентов:

.

Ранг матрицы коэффициентов . Следовательно,

одну  строку можно отбросить. Получим систему  

Найдем число базисных решений: .

1) Пусть базисными будут  и ,

.

Тогда первое базисное решение будет иметь вид .

2) Пусть базисными будут  и ,

.

 Тогда первое базисное решение будет иметь вид .

3) Пусть базисными будут  и

Тогда первое базисное решение будет иметь вид .

4) Пусть базисными будут  и ,

Тогда первое базисное решение будет иметь вид .

5) Пусть базисными будут  и ,

Тогда первое базисное решение будет иметь вид .

6) Пусть базисными будут  и ,

Тогда первое базисное решение будет иметь вид .

Ответ: получили шесть базисных решений: