Линейная зависимость векторов

Вектор  называется линейной комбинацией векторов  векторного пространства , если выполняется равенство

                   (48)

-любые числа.

Векторы  называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , одновременно не равные равны, что справедливо равенство

                      (49)

Если равенство (49) выполняется только при , то векторы называются линейно независимыми.

Теорема: если векторы  - линейно зависимые, то хотя бы один из векторов является линейной комбинацией других векторов.

На плоскости два линейно независимых вектора – это не коллинеарные вектора. Тогда любой третий вектор можно представить в виде: .

В пространстве три некомпланарных вектора можно считать линейно независимыми и любой четвертый представить в виде:

.

    Свойства векторов линейного пространства:

1) если среди векторов  имеется нулевой вектор , то эти векторы линейно зависимы;

2) если часть векторов  линейно зависимы, то и все векторы линейно зависимы.

Например, проверим, являются ли векторы линейно зависимыми

?

Решение.      Составим равенство: ,

.

 Пусть , . Система имеет множество решений . Следовательно, заданные векторы линейно зависимые.

Размеренность и базис векторного пространства

Векторное (линейное) пространство  называется n-мерным, если в нем существует  линейно независимых векторов, а любые   векторов – линейно зависимые.    

 – называется размерностью пространства  и обозначается

. Например,  – плоскость, ,  – трехмерное

пространство,

Множество n независимых векторов n-мерного пространства  называется базисом.

Пусть имеется n-мерное пространство , – базис  Любой вектор  - линейно зависимый, следовательно,

,

 ,                              (50)

,                                (51)

где  - координаты вектора .

Выражения (50), (51) являются разложениями вектора по базису ,  – координаты вектора  в этом базисе. Такое разложение единственное.

Теорема: если  – система линейно независимых векторов пространства  и любой вектор  линейно выражается через них, то пространство  является n-мерным и векторы  являются его базисом.

Покажем, что следующие вектора образуют базис

.

Решение: если  образуют базис, то они линейно независимы, следовательно :

- линейно-независимые векторы и составляют базис.

Переход к новому базису

Пусть пространство  имеет два базиса:  – старый;  - новый:

                         (52)

Матрица коэффициентов этой системы называется матрицейперехода от старого  к новому  базису:

                   (53)

Обратный переход от  к  осуществляется с помощью обратной матрицы А^-1.

Пусть задан вектор . Запишем его в разных базисах:

1) в базисе  (в старом),

2) в базисе    (в новом).

Тогда

 или                       (54)

Например, в базисе  заданы векторы  и . Выразить вектор  в базисе векторов .

Решение: а) Покажем, что  образуют базис:

,

следовательно векторы образуют базис.

б) Выразим связь между базисами:

матрица перехода .

в) Найдем обратную матрицу А^-1

.

г) По формуле (47) найдем координаты  в новом базисе:

.

Скалярное произведение векторов.

Евклидово пространство

Пусть заданы два вектора в пространстве :  и . Скалярным произведением двух векторов  называется число, вычисляемое по формуле:

.            (55)

Свойства скалярного произведения:

1. ,

2. ,

3. , где - действительное число,

4. , если , , если ,

Линейное (векторное) пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющих свойствам 1-4, называется евклидовым пространством.

    Длиной (нормой, модулем) вектора  в евклидовом пространстве называется корень квадратный из скалярного произведения вектора на себя:

.                (56)

Свойства длины вектора:

1) ;

2) - действительное число;

3) - неравенство Коши-Буняковского;

4) - неравенство треугольника.

Угол между векторами определяется по формуле:

, .                     (57)

Два вектора называются ортогональными, если их скалярное

произведение равно нулю:

.                                  (58)

Вектор называется единичным,если .

Если единичные векторы  n-мерного евклидового пространства попарно ортогональны и норма каждого вектора равна 1, то векторы  образуют ортонормированный базис.

Теорема: Во всяком n-мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Например, в трехмерном пространстве таким базисом является система векторов .

Упражнения

1.Определить, являются ли векторы , ,  линейно зависимыми.

2. В базисе  заданы векторы , . Показать, что они образуют базис и в этом базисе выразить вектор .

3. В базисе заданы векторы , . Показать, что они образуют базис и в этом базисе выразите вектор .

4. В базисе  заданы векторы . Найти вектор  в этом базисе.

5. Найти длину вектора

6. Найти косинус угла между векторами  и

7. При каком значении параметра   векторы  и ортогональны.

7. Линейные операторы