Решение систем однородных линейных уравнений

Система из m линейных уравнений с n неизвестными при нулевых свободных членах называется однородной

                                                      (16)

Система (16) всегда совместна, она имеет тривиальное решение

Система (16) имеет нетривиальное решение, если

1)

2)

Эти условия аналогичны выполнению условия

Пусть  – решение системы уравнений (16). Запишем это решение в виде строки .

Свойства решений:

1. если строка  - решение системы (16), то

является решением этой системы, - некоторое число, неравное нулю;

2. если  и  решения системы (16), то при любых С₁и С₂ их комбинация тоже является решением системы:

.

Выражение  называется линейной комбинацией решений системы. 

Если , где  одновременно не равные нулю, то строки (решения)  называются линейно зависимыми.

Если  только при , то решение называются линейно независимыми.

Система линейно независимых решений  называется фундаментальной, если каждое решение системы (16) является линейной комбинацией решений   .

Если  то фундаментальная система решений (16) состоит из   решений.

Общее решение системы (16) имеет вид:

.                 (17)

Такое решение называется фундаментальной системой решений, где  - производные числа

Например, решить систему уравнений и найти фундаментальную систему решений

Решение: найдем ранг матрицы коэффициентов при неизвестных:

.

Ранг . Следовательно, за базисный минор можно взять любой минор второго порядка.

1) Пусть базисный минор состоит из коэффициентов переменных

.

 - основные переменные;  – неосновные переменные.   Рассмотрим систему 

Для получения фундаментального решения  поочередно заменяем неосновные переменные  элементами строк единичной матрицы .

1)

2)

Ответ: фундаментальная система решений

Упражнения

1. Решить системы уравнений методами Крамера и обратной матрицы:

1) 2) 3)  

2. Решить системы уравнений методом Гаусса:

 1)     2)  

 3. Найти фундаментальную систему решений:     

1)      2)  

Использование матриц, определителей и систем уравнений в экономике