Методы вычисления ранга матрицы

Определители

Определитель второго порядка

Пусть задана таблица четырех чисел, расположенных в две строки и в два столбца

                                                                                             (1)

Элементы а₁₁, а₁₂ – образуют первую строку, элементы а₂₁, а₂₂  образуют вторую строку. Элементы  а₁₁, а₂₁  образуют первый столбец, элементы  а₁₂, а₂₂  образуют второй столбец. Элементы  а₁₁, а₂₂ стоят на главной диагонали, элементы  а₁₂, а₂₁ стоят на побочной диагонали.

Определителем второго порядка для чисел (1) называется число, которое вычисляется по формуле 

                                    а₁₁а₂₂ – а₁₂а₂₁                                                 (2)

Иначе это определение можно дать так: определителем второго порядка для чисел (1) называется число, равное разности произведений элементов, стоящих на главной диагонали, и произведения элементов, стоящих на побочной диагонали. При этом пишут

                                           (3)

Определитель (от латинского слова determinant) обозначается  или  

Например, вычислить определитель

Решение: .

Определитель третьего порядка

Пусть задана таблица, состоящая из девяти чисел, расположенных в три строки и три столбца

                                                                          (4)

Определителем третьего порядка для таблицы чисел (4) называется число, которое вычисляется по формуле  

   (5)

при этом пишут 

.

Для вычисления определителя третьего порядка можно использовать правило, называемое правилом "треугольника":

- три первых слагаемых в формуле (5) берутся со знаком плюс и мысленно строятся треугольники с основаниями параллельными главной диагонали и с вершинами в элементах на побочной диагонали (рис.1);

Рис. 1

- три следующих слагаемых берутся со знаком минус и мысленно строятся треугольники с основаниями параллельными побочной диагонали и с вершинами в элементах, стоящих на главной диагонали

(рис.2).

Рис.2                            

Например, вычислить определитель третьего порядка по правилу

«треугольника»

Решение:  

Минор определителя

Пусть задан определитель третьего порядка , где i – индекс строки, j – индекс столбца.

Минором любого элемента определителя , называется определитель меньшего порядка, который получен из элементов определителя, оставшихся после вычеркивания элементов i – строки и j – столбца. Обозначается минор

Например,  для определителя  найти миноры М₁₁, М₃₂.

Решение: а) минор М₁₁ получим, вычеркивая первую строку и первый столбец определителя:

 М₁₁= ;

б) для получения минора М₃₂ вычеркнем третью строку и второй столбец определителя:

 М₃₂= .

Алгебраическое дополнение

Алгебраическим дополнением любого элемента определителя называется минор этого элемента с определенным знаком:

                                                                          (6)

Например, для определителя  найти алгебраические дополнения А₁₁, А₃₂.

Решение:

, .

Разложение определителя по строке или столбцу

Теорема: определитель n-ого порядка равен сумме произведений элементов выбранной строки или столбца на их алгебраические дополнения:

                                             (7)

В выражении (7) записано разложение определителя по элементам i строки.  Аналогичное разложение можно записать по любой строке или столбцу.

Например, записать разложение определителя по второй строке и по третьему столбцу.

Решение:

1) Вычислим определитель разложением по второй строке:

2) Вычислим этот же определитель разложением по третьему столбцу:

Свойства определителей

1. Значение определителя не изменится, если строчки и столбцы

определителя поменять местами:

2. Значение определителя изменится на противоположное по

знаку, если две строки или два столбца определителя поменять местами:

3. Общий множитель элементов строки или столбца определителя

можно вынести за знак определителя:

4. Определитель равен нулю, если он имеет строку или столбец, состоящий из нулей.

5. Определитель равен нулю, если он имеет две одинаковых строки или два одинаковых столбца.

6. Определитель равен нулю, если он имеет две пропорциональные строки или два пропорциональных столбца.

7. Значение определителя не изменится, если к элементам одной строки или столбца прибавить элементы другой строки или столбца, умноженные на какое-то число:

.

Например, вычислить определитель четвертого порядка, используя свойства определителей и разложение определителя по первой строке: 

.

Решение: прежде чем вычислить определитель, получим в первой строчке нули, во втором и четвертом столбцах. Для этого умножим первый столбец на (-2) и сложим со вторым, второй столбец изменится, и умножим первый столбец на (-3) и сложим с четвертым, изменится четвертый столбец:

.

Решим этот же пример, получив нули в третьем столбце. Для этого к третьей строке прибавим вторую, изменится третья строка, и к четвертой строке прибавим вторую строку, умноженную на (-5), изменится четвертая строка:

.

Упражнения

1. Вычислить определители второго и третьего порядка:

1) ;     2) ;      3) ;    4) ;  

5) ;      6) ;    7) ; 

8) ;    9) ;      10) .

2. Решить уравнения и неравенства:

1) ; 2) ; 3)

4) ; 5) ;6)  .

3. Разложить определитель по указанной строке или столбцу и вычислить его.

 1)  по первой строке и четвертому столбцу;

2)  по третьей строке и первому столбцу.

4.Вычислить определители, используя их свойства:

 1) ;    2) .

2. Матрицы

Определение

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов. Размер матрицы – . Обозначаются матрицы большими латинскими буквами . Элементы матриц обозначаются маленькими буквами: , где i – номер строки, j – номер столбца.

Например, задана матрица :

                                     .

Виды матриц

1) Матрица размером  называется матрицей-строкой.

2) Матрица размером  называется матрицей-столбцом.

3) Матрица размером  называется квадратной порядка m. Для такой матрицы можно составить определитель, состоящий из элементов матрицы.

Если определитель такой матрицы равен нулю, то матрица называется вырожденной, в противном случае – невырожденной.

Например, для матрицы  найти определитель.

Определитель матрицы равен: .

4) Матрица, у которой число строк и столбцов не равны, называется прямоугольной.

5) Матрица, элементами которой являются нули, называется нуль-матрицей О.

6) Матрица, элементы которой задаются по формуле

, называется диагональной.

7) Диагональная матрица размером , элементы которой

задаются по формуле , называется единичной и

обозначается Е.

8) Матрицы одного размера  и  называются равными, если их соответствующие элементы равны ( ).

9) Противоположной для матрицы  А называется матрица тех же размеров , определенная следующим образом: .

Операции над матрицами

1) Сложение матриц.

Суммой матриц А_{m n} и  B_{m n} называется матрица С_{m n}, элементы которой вычисляются по формуле:

.                                 (8)

Свойства:

1. ;

2. ;

3. ;  - нулевая матрица;

4. .

2) Умножение матриц на число.

При умножении матрицы А на число α получается матрица

С = α·А,  элементы которой определяются по формуле:

.                                   (9)

Свойства:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. .

3) Умножение матриц.

Произведением матрицы  на  называется матрица , элементы которой определяются по формуле:

                            (10)

то есть определяется сумма произведений соответствующих элементов i – строки матрицы А на соответствующие элементы j – столбца матрицы В. Матрицы можно умножать, если внутренние размерности совпадают.

Свойства:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Если выполняется условие , то матрицы и  называются перестановочными.

Например, выполнить действия с матрицами ; , если  

; .

Решение. Умножим матрицы на числа:

, .

Найдем сумму матриц 

                . 

 Найдем произведение матриц :

.

Найдем разность матриц

              .

Транспонированная матрица

Матрица А^Т называется транспонированной к матрице А, если в матрице А строчки и столбцы поменять местами.

Свойства транспонированных матриц:

1)

2)  

3)  

4)  

Например, для матрицы  построить транспонированную матрицу.

Решение: транспонированной является матрица: .

Обратная матрица

Матрица  называется обратной матрицей для матрицы , если справедливо следующее условие:

.                          (11)

Необходимые условия существования обратной матрицы:

 1) матрица должна быть квадратной;

 2) определитель матрицы  не равен нулю, т.е. матрица должна быть невырожденной.

Алгоритм нахождения обратной матрицы:

1. составить определитель матрицы  и вычислить его;

2. если , то обратная матрица не существует;

3. если , составить присоединенную матрицу , состоящую из алгебраических дополнений к элементам матрицы А;

4. транспонировать присоединенную матрицу ;

5. записать обратную матрицу:

Например, найти обратную матрицу для матрицы А: .

Найдем определитель матрицы А:

Найдем алгебраические дополнения для элементов матрицы А:

; ; ;

; ; ;

; ; .

Составим присоединенную матрицу:

Транспонируем матрицу :

.

Обратная матрица имеет вид:

.

Для проверки правильности вычислений следует выполнить умножение: .

Ранг матрицы

Минором матрицы   называется определитель, полученный вычеркиванием к-строк и к-столбцов. Минором может быть определитель любого порядка

Например, для матрицы найти все миноры второго порядка.

, , .

Рангом матрицы  называется наивысший порядок не равного нулю минора. Обозначается ранг  или . В примере миноры второго порядка не равны нулю, то .

Свойства ранга матрицы:

1) ;

2) , если все элементы матрицы А равны нулю;

3) если , то .

Методы вычисления ранга матрицы

1. Метод окаймляющих миноров.

Пусть задана матрица :

а) выбирается любой элемент матрицы, неравный нулю, и около него строится определитель второго порядка;

б) если построенный определитель не равен нулю, то около него строится определитель третьего порядка;

в) если все определители третьего порядка равны нулю, и миноры большего порядка построить нельзя, то , если найдется хотя бы один определитель третьего порядка не равный нулю, то

2. Метод элементарных преобразований матриц.

Теорема: ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях матрицы.

Элементарные преобразования матриц:

1) отбрасывание строки, состоящей из нулей;

2) умножение элементов строки на любое число, не равное нулю;

3) изменение порядка строк;

4) прибавление к элементам одной строки элементов другой строки, умноженных на любое число, не равное нулю;

5) транспонирование матрицы.

После элементарных преобразований матрицу приводят к матрице трапецеидального вида.

Например, для матрицы    найти ранг матрицы обоим методами.

Первый метод. Найдем миноры первого, второго и третьего порядков, выстраивая их около первого члена матрицы:

, , .

Ответ: .

 Второй метод. Приведем матрицу к трапециидальному виду:

~ ~ ~ .

Протокол действий: 1) переставили первый и четвертый столбцы местами; 2) от второй строки отняли четыре первых строки (С₂ – 4С₁); 3) от третьей строки отняли две первых (С₃- 2С₁); 4) из второго столбца вычли четвертый столбец. Теперь легко найти неравный нулю минор максимального порядка  и ранг матрицы: