Мат.ожидание непрерывной С.В.

Пусть непрерывная С.В X задана плотностью распределения f(x). Допустим, что все возможные значения X принадлежат отрезку [a; b]. Разобьем этот отрезок на n частичных отрезков длиной , ,…,  и выберем в каждом из них произвольную точку x (i=1, 2,…, n). Определим мат. ожидание непрерывной величины по аналогии с дискретной; составим сумму произведений возможных значений x на вероятности попадания их в интервал : .

Перейдем к пределу: = ; M(X)= .

Свойства математического ожидания:

1. Мат. ожидание постоянной величины равно самой постоянной M(C)=C.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак мат.ожидания M(CX)=CM(X).

3. Мат.ожидание произведения двух независимых С.В. равно произведению их мат.ожиданий M(XY)=M(X)M(Y).

4. Мат.ожидание суммы двух С.В. равно сумме мат. ожиданий слагаемых M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Дисперсиейдискретной С.В. называют мат.ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее мат. ожидания: D(X)=M[X-M(X)] .

По определению дисперсии:

D(X)=M[X-M(X)] =[x -M(X)] p +[x -M(X)] p +…+[x -M(X)] p .

Дисперсия равна разности между мат. ожиданием квадрата С.В. X и квадратом ее мат. ожидания. D(X)=M(X )-[M(X)] .

D(X)=M[X-M(X)] =M[X -2XM(X)+M (X)]= M(X )-2M(X)M(X)+ M (X)= =M(X )-2M (X)+M (X)= M(X )- M (X)= M(X )-[M(X)] .

Дисперсией непрерывной случайной величины называют мат.ожидание квадрата ее отклонения. Если возможные значения X принадлежат отрезку [a; b], то D(X)=

(a и b могут быть  и - соответственно)

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной величины C равна 0 D(C)=0.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат D(CX)= C D(X).

3. Дисперсия суммы(разности) двух независимых С.В. равна сумме(разности) дисперсий этих величин D(X Y)=D(X) D(Y).

4. D(X)=M(X )-[M(X)] .

D(X)=M[X-M(X)] =M[X -2XM(X)+M (X)]= M(X )-2M(X)M(X)+ M (X)= =M(X )-2M (X)+M (X)= M(X )- M (X)= M(X )-[M(X)] .

Вычисление мат.ожидания и дисперсии при биномиальном распределении.

X	0	1	2	…	n
p	p	p	p	…	p

 – число появления события A в n независимых опытах. P(A)=p; q=1-p; X{0, 1, 2,…, n},

/////////////////////на всякий случай вывод для тех, кому очень интересно

Формула распределения:

P (m) =

По определению, математическое ожидание случайной величины вычисляется по формуле:

где

x _i - значения случайной величины x ,

p _{i -} вероятности событий .

Для закона распределения случайной величины мы получим:

Поскольку

,

то

Окончательно:

Для дисперсии, по определению, имеем:

.

получим:

///////////////////////////////////////////////////////////////

p (k)=C p q .      M(x)=np. D(x)=npq.

Вычисление мат. ожидания и дисперсии при распределении Пуассона.

X – число появлений события A в n независимых испытаниях.

///////////////////////////////////////////////////////////// на всякий случай вывод для тех, кому очень интересно

Рассмотрим второй случай асимптотического приближения биномиального распределения, когда , а – имеет конечное значение. Случайная величина называется распределенной по закону Пуассона с параметром , если эта случайная величина может принимать значения , соответствующая вероятность которых определяется по формуле Пуассона, когда :

.

В биномиальном распределении величина имеет смысл математического ожидания. Проведем вычисления математического ожидания для распределения Пуассона:

.

Таким образом, в распределении Пуассона величина также имеет смысл математического ожидания.

Проведем вычисления дисперсии для распределения Пуассона:

,

поскольку

,

Таким образом, в распределении Пуассона дисперсия также равна

///////////////////////////////////////////////////////////

P (k)= ;  – параметр распределения; =np; M(x)= D(X)= .