Центральная предельная теорема

Рассмотрим другую закономерность, возникающую в результате суммарного действия случайных величин. При некоторых условиях совокупное действие случайных величин приводит к определенному, а именно — к нормальному закону распределения.Центральная предельная теорема представляет собой группу теорем, посвященных установлению условий, при которых возникает нормальный закон распределения. Среди этих теорем важнейшее место принадлежит теореме Ляпунова.

Теорема Ляпунова. Если .X , X ,…, X независимые С.В, у каждой из к-х существует мат. ожидание M(X )=a, дисперсия D(X )= , абсолютный центральный момент третьего порядка M(|X -a | )=m и . (80) , то закон распределения суммы Y =X +X +…+X при n неограниченно приближается к нормальному с математическим ожиданием  и дисперсией .

В данном вопросе громоздкие, хотя и достаточно понятные доказательства теорем без к-х ответ окажется очень маленьким. Хотя по усмотрению, можете обойтись перечислением теорем если не успеваете.                                       

Проверка статистических гипотез: принципы практической уверенности, статистическая гипотеза и общая схема её проверки, основная и альтернативная гипотезы, простая и сложные гипотезы, ошибки первого и второго ряда при проверке гипотезы, мощность критерия

Пусть имеется некоторая выборка  значений случайной величины , функция распределения которой неизвестна. Статистической гипотезой  называется любое предположение о распределении наблюдений, например, предположение о том, что функция распределения  совпадает с некоторой наперед заданной функцией :  (такая гипотеза называется простой), или о том, что функция распределения принадлежит некоторому параметрическому семейству распределений :  (сложная статистическая гипотеза).

Если рассматривается всего 2 взаимоисключающие гипотезы, то одну из них принято называть основной (нулевой) и обозначать , а другую – альтернативной (противоположной), она обозначается . Обычно за  принимается такая гипотеза, отвержение которой, когда она на самом деле верна, будет иметь наихудшие последствия по сравнению с теми, когда за  выбирается другая гипотеза.

При проверке статистических гипотез используется принцип практической уверенности: «если вероятность события А в данном опыте весьма мала, то можно вести себя так, как будто событие А вообще невозможно, т. е. не рассчитывать на его появление; если же вероятность события близка к 1, то можно предполагать, что оно достоверно произойдет». Таким образом, при правильном выборе допустимого отклонения вероятности правильного решения о принятии или не принятии гипотезы мы можем на основании вероятностных данных делать выводы невероятностного характера (например, о свойствах случайных величин).

Типовые постановки задачи при проверке статистических гипотез:

1) ; другие предположения невозможны.

2) Простая основная гипотеза  и сложная альтернатива .

3) Сложная основная гипотеза  и сложная альтернатива .

4) Гипотеза однородности: имеется несколько выборок  случайных величин  с распределениями  соответственно. Рассматриваются сложная основная гипотеза  и альтернатива .

5) Гипотеза независимости: наблюдается пара случайных величин , имеем выборку . Рассматриваются сложная основная гипотеза  и альтернативная ей гипотеза .

6) Гипотеза случайности: наблюдается  случайных величин . Рассматривается сложная основная гипотеза  и альтернативная ей гипотеза .

Пусть имеются гипотезы . Тогда статистическим критерием называется правило принятия одной из этих гипотез на основании имеющейся выборки, то есть отображение . Для заданного критерия  будем говорить, что произошла ошибка -го рода, если гипотеза  была отвергнута критерием в то время как она верна. Тогда вероятность ошибки -го родадля критерия  равна .

Пусть рассматриваются две простые гипотезы . Тогда критерием будет отображение , делящее  на два подмножества  (критическая область) и :

Вероятность ошибки первого рода: .

//////////////////////////////////////////////

Пусть дана выборка из неизвестного совместного распределения , и поставлена бинарная задача проверки статистических гипотез:

где H0 — нулевая гипотеза, а H1 — альтернативная гипотеза. Предположим, что задан статистический критерий

,

сопоставляющий каждой реализации выборки одну из имеющихся гипотез. Тогда возможны следующие четыре ситуации:

Распределение выборки соответствует гипотезе H0, и она точно определена статистическим критерием, то есть .

Распределение выборки соответствует гипотезе H0, но она неверно отвергнута статистическим критерием, то есть .

Распределение выборки соответствует гипотезе H1, и она точно определена статистическим критерием, то есть .

Распределение выборки соответствует гипотезе H1, но она неверно отвергнута статистическим критерием, то есть .

Во втором и четвертом случае говорят, что произошла статистическая ошибка, и её называют ошибкой первого и второго рода соответственно. [1][2]

////////////////////////////////////////////////////////////////////

Мощностью критерия  называется величина .

Несмотря на разнообразие самих гипотез и применяемых критериев, их можно объединить в следующую общую логическую схему:

1. Выдвижение гипотез  и .

2. Выбор уровня значимости  – вероятности ошибки первого рода. Эту величину называют также размером критерия. Выбор величины  зависит от размера потерь, которые мы понесем в случае ошибочного решения.

3. Выбор критерия . Значение критерия является случайной величиной и в предположении справедливости нулевой гипотезы  подчинено некоторому хорошо изученному закону распределения с плотностью .

4. Определение критической области  исходя из следующего условия: . Из таблиц распределения  находят квантили уровня  и уровня , соответственно равные  и . Они разделяют всю область возможных значений случайной величины  на три части:

1 – область неправдоподобно малых ,

2 – правдоподобных ,

3 – неправдоподобно больших значений в условиях справедливости нулевой гипотезы . В тех случаях, когда опасными для нашего утверждения являются только односторонние отклонения, т. е. только «слишком маленькие» или только «слишком большие» значения критической статистики  находят лишь одну квантиль: либо , либо  которая будет разделять весь диапазон значений  на две части.

5. Определение на основе выборочных данных численной величины статистики .

6. Выработка решения. Если , то гипотезу  рекомендуется отклонить, в противном случае ее можно принять, т.к. имеющиеся данные не противоречат высказанной гипотезе.

Пусть ,  - плотности распределения критической статистики соответственно при справедливости нулевой гипотезы  и альтернативной гипотезы , ,  - параметры распределения при  и . Тогда ошибки первого и второго рода определяются выражениями  и  где  - граница критической области .

Тогда мощность критерия .

Линейные пространства. Определение, примеры, простейшие свойства. Единственность нейтрального, единственность противоположного элемента. Линейная зависимость. Координаты векторов и их связь при переходе к другому базису.