Введём понятие степенного ряда

Степенным рядом называется функциональный ряд с₀ + с₁(z – z₀) + с₂(z – z₀)² + … + с_n(z – z₀)ⁿ + …

члены которого есть произведения постоянных с₀, с₁, с₂, …, с_n, … на степенные функции с целыми показателями степеней от разности (z - z₀).

Степенной ряд с центром в точке : , где D –область.

 - ряд с центром в точке z₀ = 0     (1)

Введём понятие функционального ряда

Пусть существует последовательность функций f₀(x), f₁(x), …, f_n(x), … . Функциональным рядом будем называть выражение вида f₀(x) + f₁(x) + … + f_n(x) + … .

Теорема Абеля.

1)Пусть степенной ряд (1) сходится в точке .Тогда он сходится абсолютно в любой точке z, для которой | |<| |,и равномерно и абсолютно в любом круге радиуса R:

2)Если степенной ряд (1) расходится в точке , тогда он расходится и во всех точках z таких, что |z|>| |.

Доказательство:

Необходимый признак сходимости ряда (Не является достаточным): при

 По условию, ряд  сходится, следовательно, . Любая последовательность, имеющая предел, ограничена, значит, существует такое число M:  для всех n=0, 1,… (2)

Ряд (1) запишем в виде

Учитывая неравенства (2) найдем , т.к. .

Здесь , поэтому последний ряд сходится, а это означает, что сходится ряд , т. е. при |z|<|| исходный степенной ряд (1) сходится абсолютно.

Если же zрассматривать только из замкнутого круга , то , а это означает, что степенной ряд (1) мажорируется сходящимся числовым рядом  и по признаку Вейерштрасса исходный степенной ряд (1) сходится равномерно в круге

Пусть теперь ряд (1) расходится в точке . Предположим, что в точке  такой, что | |>| | ряд (1) сходится. Тогда по предыдущему утверждению ряд (1) сходится и в точке , что противоре­чит условию. Итак, для всех z таких, что |z|>| | ряд (1) расходится. [Теорема доказана]

Параметры и радиус сходимости

Сходимость:пусть есть ряда₁+а₂+…+а_n+… Егочастичныесуммы: S₁=a₁, S₂=a₁+a₂ , …,Sn= a₁ +….+ a_n .Ряд сходится if , где S конечно.

Из теоремы Абеля можно сделать заключение о характере области сходимости степенного ряда. Точка z=0 всегда лежит в области сходимости ряда (1). Если область сходимости отлична от одной точки z=0 и от всей плоскости (z), то существует круг радиуса R, называемый кругом сходимости степенного ряда(1), в каждой точке которого ряд (1) сходится абсолютно, а вне точек круга расходится.

Для определения радиуса круга сходимости используется либо признак Даламбера, либо признак Коши.

Для каждого фиксированного zрассмотрим числовой ряд      (3) и применим к нему признак Даламбера. Именно: если существует предел      (4) , то ряд (3) сходится, если  и расходится, если . Отсюда заключаем, что если выполнено соотношение , то ряд (3) сходится абсолютно, а если имеет место неравенство , то ряд (1) как и ряд (3), расходится.

Т.о., для определения радиуса круга сходимости степенного ряда получаем формулу       (5).          

Если же к ряду (3) применим признак Коши то получим равенство

из которого заключаем, что ряд (3) сходится, если , и расходится, если . Т.о., радиус круга сходимости Rряда (1) определяется по формуле .  (6) (формула Коши — Адамара.)

Радиус сходимости степенного ряда - Rcx= =

Критерий равномерной сходимости.

Для того, чтобы функциональный ряд(в частности степенной ряд) сходился равномерно в области D, необходимо и достаточно, чтобы  и : при n>N

 , p =0,1,2,3,…

Абсолютная сходимость: ряд а₁+а₂+…+а_n+… сходится абсолютно, если сходится ряд |а₁ |+|а₂ |+…+|а_n|+… 

Непрерывность суммы

Свойство степенных рядов. Сумма степенного ряда есть функция, непрерывная на интервале сходимости ряда. S(z) = z₀ + a₁z + a₂z² + … + a_nzⁿ + …

Причём, в том конце интервала, где степенной ряд сходится, его сумма S(x) остаётся односторонне непрерывной.