Многочлены. Кольцо многочленов над кольцом с единицей. Делимость многочленов, теорема о делении с остатком. Значение и корень многочлена. Теорема Безу.

Пусть  - непустое множество, на котором заданы две бинарные операции: сложение и умножение, удовлетворяющие следующим условиям:

1) Структура  есть абелева группа, то есть сложение коммутативно и ассоциативно, существует нейтральный элемент (ноль) по сложению и для любого  существует единственный противоположный к нему элемент.

2) Структура  есть полугруппа, то есть умножение ассоциативно;

3) Операции сложения и умножения связаны законом дистрибутивности: Структура  и  для любых .

Тогда алгебраическая структура  называется кольцом.

Пусть  - произвольное кольцо с единицей . Многочленомнад назовем любую бесконечную последовательность  элементов , в которой все , за исключением конечного их числа, равны нулю. Элементы назовем коэффициентами многочлена. Многочлен  назовем нулевым. Обозначим через  множество всех таких последовательностей. Номер последнего ненулевого члена последовательности  назовем степенью многочлена и обозначим .

Суммой многочленов называют последовательность , в которой для всех .

Произведением многочленов называют последовательность , в которой  для всех .

Произведением многочлена  на элемент слева или справа называют, соответственно, последовательность  или .

Суммой элемента  и многочлена называют последовательность .

Во всех последовательностях в вышеприведенных определениях, так же как и в исходных последовательностях, все коэффициенты, за исключением конечного их числа, равны нулю, и потому эти последовательности принадлежат .

Используя заданные на  операции, можно перейти к традиционной форме записи многочленов. Введем обозначения: , для .

Заметим, что ввиду определения произведения многочленов для любых  выполняются равенства:

Поэтому для любых  верны равенства  и для  символ  обозначает ни что иное, как -ю степень элемента : .

Пользуясь определением произведения многочлена на элемент множества , получаем, что для любых  и   верны равенства , и поэтому любой многочлен  может быть записан в виде суммы:

Последнюю запись многочлена  можно еще упростить, записав его в общепринятом виде: .

При введенных обозначениях многочлен  называют многочленом от  над кольцом ,а элементы  называют его коэффициентами. Говорят, что  - коэффициент многочлена при , а  -его свободный член.Множество  называют множеством многочленов от одного переменного над кольцом и обозначают: .

Алгебра  многочленов над кольцом  с единицей есть кольцо с единицей. Кольцо  коммутативно тогда и только тогда, когда кольцо  коммутативно, и содержит делители нуля тогда и только тогда, когда  содержит делители нуля.

Говорят, что элемент  кольца делится на элемент  слева (справа), если в разрешимо уравнение .

Однако если  - кольцо многочленов над кольцом с единицей, то в можно ввести понятие делимости с остатком и предложить алгоритм, который позволяет проверить, делится один многочлен на другой или нет.

Говорят, что в кольце многочлен  делится на многочлен  справа с остатком, если существуют многочлены  со свойствами , . //(deg–обозначение степени многочлена)

При этом многочлены  и  называют, соответственно, неполным правым частным и правым остаткомот деления  на . Аналогично определяется понятие делимости на  слева с остатком.

Если старший коэффициент многочлена  обратим в кольце , то любой многочлен можно разделить справа (слева) с остатком на . При этом правые (левые) неполное частное и остаток определяются однозначно.

Если  - поле и , то любоймногочлен можно разделить с остатком на и притом единственным способом.

Значением многочлена из в точке  называют элемент кольца . Говорят, что  - корень многочлена , если .

Данное определение позволяет поставить в соответствие каждому многочлену  функцию , определяемую условием .

Очевидно, что значение суммы двух многочленов в любой точке  равно сумме их значений. Для произведения многочленов аналогичное утверждение верно не всегда.

Если ,  и элемент перестановочен со всеми коэффициентами правого множителя , то . При сформулированном условии верны равенства .

Теорема Безу.Остаток от деления справа многочлена  на двучлен  равен . В частности, элемент

кольца  является корнем многочлена  тогда и только тогда, когда делится справа на .

Доказательство. //(хз надо или нет)  можно разделить справа с остатком на : , . Тогда , где , и . Так как для многочлена  верно равенство , то . В частности, равенство  эквивалентно равенству , а последнее эквивалентно тому, что  делит справа .

Кольца матриц. Матрицы над кольцом и операции над ними. Кольцо квадратных матриц. Определители квадратных матриц над коммутативным кольцом с единицей. Критерий обратимости матрицы над коммутативным кольцом с единицей.