Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Вычисление мат.ожидания и дисперсии при нормальном законе распределения.
Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной С.В., которое описывается плотностью f(x)= . Нормальное распределение определяется двумя параметрами: a и . Достаточно знать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение. M(X)=a. D(X)= .
Законы больших чисел и предельные теоремы: неравенство Маркова, неравенство Чебышева, теорема Чебышева, центральная предельная теорема. Законы больших чисел и предельные теоремы Закон больших чисел (в широком смысле) – общий принцип, согласно которому, совокупное действие большого числа случайных факторов приводит (при некоторых весьма общих условиях) к результату, почти не зависящему от случая. Другими словами, при большом числе случайных величин их средний результат перестает быть случайным и м.б. предсказан с большой степенью определенности. Закон больших чисел (в узком смысле) – ряд математических теорем, в каждой из которых для тех или иных условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым определенным постоянным. Неравенство Маркова (лемма Чебышева) Теорема.Если случайная величина X принимает только неотрицательные значения и имеет мат. ожидание, то для любого положительного числа А верно неравенство P(x>A) . (1) Доказательство: проведем для дискретной случайной величины X. Расположим ее значения в порядке возрастания, из которых часть значений x , x ,…, x будут не более числаА, а другая часть - x ,…, x будут больше А, т.е.x <=A, x <=A,…, x <=A; x >A,…, x >A. Запишем выражение для математического ожидания M(X): x p + x p +…+ x p + x p +…+ x p =M(X) где p , p ,…, p - вероятности того, что случайная величина Х примет значения соответственно x , x ,…, x . Отбрасывая первые k неотриц. слагаемых получим x p +…+ x p <=M(X) (2) Заменяя в неравенстве (2) значения x ,…, x меньшим числомА, получим более сильное неравенство A(p +…+ p )<=M(X) или p +…+ p <= . Сумма вероятностей в левой части полученного неравенства представляет собой, сумму вероятностей событий X=x ,…X=x т.е. вероятность события X>A. Поэтому P(X>A) <= . Неравенство Чебышева Теорема.Для любой случайной величины, имеющей мат. ожидание и дисперсию, справедливо неравенство Чебышева: P(|X-a|> )<= , (3) где a=M(X), >0. ( P(|X-a| ) 1 - - другая форма записи неравенства Чебышева, тоже правильная.Ее давал Герман) Доказательство: Применим неравенство Маркова в форме (1) к случайной величине X’=(X-a) взяв в качестве положительного числа A= . Получим <= . (4) Т.к. неравенство равносильно неравенству |X-a|> , а M(X-a) есть дисперсия случайной величины X, то из неравенства (4) получаем доказываемое неравенство (3). Теорема Чебышева Если дисперсии n независимых С.В. X , X ,…, X ограничены одной и той же постоянной, топри неограниченном увеличении числа n средняя арифметическая случайных величин сходится по вероятности к средней арифметической их мат. ожиданий (M (x1) = a , M (x2) = a ,…, a =M (xn), т. е. (5) или . Докажем формулу (5). По условию M(X )=a , M(X )=a ,…, M(X )=a , Возьмем такое С: D(X )<=C, D(X )<=C,…, D(X )<=C, где C - постоянное число. Получим неравенство Чебышева для средней арифметической случайных величин, т.е. для X= . Найдем мат. ожидание M(X) и оценку дисперсии D(X) M(X)=M( )= ; D(X)=D( )= . (Здесь использованы свойства математического ожидания и дисперсии, в частности, то, что случайные величины X , X ,…, X независимы, а следовательно, дисперсия их суммы равна сумме дисперсий.) Применяем неравенство Чебышева(вариант Германа) для С.В - X=(X ,X ,…,X )/n; (6) Т.к. по доказанному D(X) , то 1- , и от неравенства (6) перейдем к более сильному неравенству: (7) В пределе при n величина стремится к нулю, и получим доказываемую формулу (5). |
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-05-29; просмотров: 249. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |