Интервальные оценки параметров

Выборка, полученная из генеральной совокупности, содержит n значений признака - случайной величины Х. Найденные значения точечных характеристик в свою очередь будут случайными величинами, меняющимися от выборки к выборке. Однако они используются для оценки неслучайных числовых параметров генеральной совокупности – математического ожидания (генеральной средней) и дисперсии (генеральной дисперсии). С этим обстоятельством связана необходимость ввести в рассмотрение понятия интервальных оценок параметров – оценок, определяемых двумя числами, границами некоторого интервала.

Интервальной оценкой какого-либо оцениваемого параметра служит доверительный интервал.

Доверительный интервал – интервал со случайными границами, вычисляемыми по выборке, который с заданной исследователем (доверительной) вероятностью «накрывает» оцениваемый параметр. Как правило, выбирается симметричный интервал относительно .

Пусть исследуемый признак распределен в соответствии с нормальным законом распределения.

Интервальная оценка для генеральной средней:

а) при известной среднеквадратической ошибке измерения:

                               (8.4.1.),

    где  - генеральная средняя (математическое ожидание); - известное среднее квадратическое отклонение; n - объем выборки; t определяется из условия , где  - функция Лапласа, заданная таблично;  - доверительная вероятность, назначаемая исследователем.

        б) при неизвестной среднеквадратической ошибке

                       (8.4.2.),

где s - среднее выборочное квадратическое отклонение;  - табулированная функция, построенная на основе распределения Стьюдента.

Интервальная оценка для генеральной дисперсии:

                    (8.4.3.),

где D – генеральная дисперсия k =n-1 или k=n-m;  - квантили - распределения, зависящие от  kдоверительной вероятности .

Интервальная оценка для генерального среднего квадратического отклонения:

                        (8..4.4)

где  - генеральное среднее квадратическое отклонение,  - таблично заданная функция.

Подсчитаем интервальные оценки параметров для примера 8.1.

4Зададимся доверительной вероятностью . Так как истинное значение  неизвестно, то доверительный интервал для генерального среднего рассчитаем по формуле (8.4.2)

По таблице находим: . Тогда

 или .

Доверительный интервал для генеральной дисперсии в соответствии с формулой (8.4.3.) : ; тогда

, или .

Доверительный интервал для генерального среднего квадратического отклонения в соответствии с формулой (8.4.4.): по таблицам . Тогда , или .3