Построение теоретического закона распределения по опытным данным. Проверка гипотезы о законе распределения

Одной из важнейших задач математической статистики является установление теоретического закона распределения изучаемого признака по опытным данным – имеющейся выборке из генеральной совокупности.

Для решения этой задачи надо определить (подобрать) вид и параметры закона распределения. Как правило, это делают при помощи гистограммы или полигона частот, так как эти графические характеристики выступают аналогом функции плотности вероятностей.  

Параметры закона распределения, как правило, неизвестны, поэтому их заменяют точечными оценками, находимыми по выборке.

Как бы хорошо ни был подобран теоретический закон распределения, между эмпирическим и теоретическим законом неизбежны расхождения. Для ответа на вопрос: носят ли эти расхождения случайный характер, или являются следствием несоответствия подобранного закона истинному, служат критерии согласия.

Наиболее часто используется критерий согласия Пирсона или -критерий.

В критерии согласия Пирсона проверяется статистическая гипотеза  о виде теоретического закона распределения. Сравнивается с критическим значением сумма квадратов отклонений опытного числа попаданий в каждый интервал  от теоретического их числа , где - теоретические вероятности попадания в i-й интервал значений изучаемого признака в случае действительной реализации подобранного закона распределения. Вычисляемая статистика  сравнивается с критическим значением , где  - уровень значимости,  - число степеней свободы дисперсии,  - число параметров в теоретическом законе распределения. Если  гипотеза принимается.

Пример 8.5. Для примера 1 по критерию Пирсона проверить гипотезу о нормальном законе распределения на уровне значимости .

3 Был получен вариационный ряд:

i	1	2	3	4	5	6	7	8
	87–91	91 – 95	95 – 99	99– 103	103–107	107–111	111-115	115-119
	4	10	16	33	16	5	15	1
	0,04	0,1	0,16	0,33	0,16	0,05	0,15	0,01

и построена гистограмма. Вид гистограммы позволяет предположить, что изучаемый признак распределен нормально. Теоретические значения математического ожидания  и среднего квадратического отклонения  неизвестны, поэтому заменяем их «наилучшими оценками»  и .

    Для расчета вероятностей попадания признака в интервалы  используем таблицы функций Лапласа:

. Теоретические частоты , так:

Для вычисления статистики  удобно пользоваться таблицей:

i
1	87–91	4	0,03	3,0	1,0	0,33
2	91 – 95	10	0,08	8,0	4,0	0,25
3	95 – 99	16	0,16	16,0	0,0	0,0
4	99– 103	33	0,18	18,0	225,0	18,12
5	103–107	16	0,22	22,0	36,0	1,63
6	107–111	5	0,2	20,0	225,0	11,25
7	111-115	15	0,15	15,0	0,0	0,0
8	115-119	1	0,02	2,0	1,0	0,25
		100	1,04	104		31,83

Число степеней свободы дисперсии ;

. Так как , то гипотеза о нормальном законе распределения отвергается. 4

    8.6. Построение теоретической кривой по методу наименьших квадратов

Как правило, в экспериментах задается значение некоторой величины Х и измеряется значение некоторой другой величины У связанной с Хфункциональной зависимостью, вид которой не известен. В результате получают таблично заданную функцию . Аналитический вид этой функции неизвестен.

Метод наименьших квадратов (МНК) позволяет построить аналитическое выражение функции  (теоретическую кривую) по опытным данным. В соответствии с МНК теоретическая кривая  должна проходить так, чтобы сумма квадратов отклонений ее ординат от экспериментальных данных в опытных точках была минимальной.

Математически эта задача формулируется следующим образом:

                           (8.6.1.).

        Как правило, вид теоретической кривой выбирается в виде полинома

                                         (8.6.2.),

    тогда (8.6.1.) записывается так:

                       (8.6.3.).

    В силу квадратичности функционала Lотносительно коэффициентов  и неотрицательности существует единственный минимум. Условия экстремума Lпозволяют получить систему m уравнений для вычисления коэффициентов . Эти уравнения называются системой нормальных уравнений:

                                 (8.6.4).

    МНК особенно удобен для использования в матричной форме.

Пусть проведен эксперимент в котором получено n пар значений и ; теоретическая кривая выбрана в виде полинома (8.6.2).

    Введем матрицы:

;        ;          (8.6.5.).

    Система нормальных уравнений размерности будет представлена в виде:

Разрешая это матричное уравнение относительно матрицы , находим:

                               (8.6.6).

При найденных таким образом коэффициентах  условие (8.6.3) выполнится.

    Пример 8.6: По МНК построить теоретическую кривую в виде полинома второго порядка  для обработки эксперимента:

3	1	2	3	4	5	6
	-2	-1	0	1	2	3
	3,3	-0,1	-0,8	-0,5	2,6	9,2

    Введем матрицы в соответствии с (8.6.5.):

; ; ; По (8.6.6) находим: .

Теоретическая кривая: .

 На рис. 8.4. приведена теоретическая кривая и показаны экспериментальные точки.

Рис. 8.4.

Задачи

8.1. Анализируются статистические данные о продажах в регионах (т. грн.):

        Построить простой статистический и вариационный ряды, графические характеристики.

В последующих задачах дано распределение признака Х, полученного по наблюдениям. Необходимо: 1) построить полигон (гистограмму), эмпирическую функцию распределения;

2) найти Точечные оценки выборки: .

8.2 Х – число сделок на фондовой бирже за квартал; n=400– число инвесторов.

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	146	97	73	34	23	10	6	3	4	2	3

Ответ:

    8.3. Х – месячный доход жителя региона (в грн.); n=1000.

	Менее 50	50-100	100-150	150-200	200-250	Свыше 250
	58	96	239	328	147	132

Ответ:

8.4. Х – удой коров на молочной ферме за лактационный период в ц,  n=100 коров.

	4-6	8-10	10-12	12-14	14-16	16-18	18-20	20-22	22-24	24-26
	3	4	11	15	20	14	12	10	6	2

Ответ:

    В задачах 8.1 – 8.4 найти доверительные интервалы с надежностью для генерального среднего, дисперсии и среднего квадратического отклонения .

8.5. По данным 9 измерений некоторой величины найдены средняя результатов измерений  и выборочная дисперсия . Найти границы, в которых с надежностью 0,99 заключено истинное значение измеряемой величины.

Ответ: .

    8.6. Средняя квадратическая ошибка показаний альтиметра (высотомера) самолета равна 15 м. Скольно надо иметь таких приборов на самолете, чтобы с надежностью 0,9 ошибка средней высоты была больше (-30) м, если закон распределения ошибки нормальный?

Ответ: Нужно иметь не менее двух приборов.

8.7. В рекламе утверждается, что месячный доход по акциям Апревышает доход по акциям Вболее чем на 0,3%. В течение годичного периода средний месячный доход по акциям Всоставил 0,5%, а по акциям А– 0,65%, а его средние квадратические отклонения составили 1, и 2,0%% соответственно. Полагая распределение доходности нормальным, с надежностью 0,95 проверить утверждение, содержащееся в рекламе.

Ответ:Утверждение противоречит имеющимся данным.

           8.8 Вступительный экзамен проводился на двух факультетах университета. На первом факультете из  абитуриентов выдержали

экзамен , на втором факультете из   - . На уровне значимости  проверить гипотезу об отсутствии существенных различий в уровне подготовки абитуриентов.

Ответ: Существенных различий нет. ( ).

8.9. Расход сырья на единицу продукции составил:

 

 

Считая, что расходы сырья по каждой технологии имеет тормальное распределение с одинаковыми дисперсиями, на уровне значимости , выяснить, дает ли новая технология экономию в расходе сырья.

Ответ: Новая технология дает экономию: ( ).

8.10. Ожидается, что добавление специальных веществ уменьшает жесткость воды. Оценка жесткости проведении до и после добавления веществ по 40 и 50 пробам (%):

до

	3,0 - 3,2	3,2 - 3,4	3,4 – 3,6	3,6 – 3,8	3,8 - 4,0	4,0 - 4,2	4,4 - 4,4
	2	3	4	6	10	9	6

После

	3,0 - 3,2	3,2 - 3,4	3,4 – 3,6	3,6 – 3,8	3,8 - 4,0	4,0 - 4,2	4,4 - 4,4
	3	7	8	10	12	8	2

Подтверждают ли результаты этот эффект?

Ответ: да ( )

8.11. По данным задачи 8.10. выдвинуть гипотезу о законе распределения и проверить ее по критерию Пирсона при .

8.12 По данным задачи 8.4. проверить по критерию Пирсона гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности ( ).

8.13. При 50 подбрасываниях монеты герб выпал 30 раз. Можно ли считать монету симметричной? (решить для ).

Ответ: Монета несимметрична.

       8.14. При 120 бросаниях игральной кости шестерка выпала 40 раз. Можно ли считать кость правильной? (решить для ).

Ответ: кость правильная.

8.15. Методом наименьших квадратов построить теоретическую кривую заданного вида ( ).

	5	10	15	20	25
	59,3	59,8	60,1	64,9	70,2

Ответ:

8.16. Методом наименьших квадратов построить теоретическую кривую заданного вида: ( ).

	2	4	6	12
	8	5,25	3,5	3,25

Ответ: